ประพจน์ประพจน์คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ จะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ p,q,r,s หรือตัวอักษรอื่นๆ แทนประพจน์ ข้อสังเกต ประโยคที่จะเป็นประพจน์จะต้องไม่กำกวม ต้องตอบได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ข้อความที่เป็นประพจน์เช่น 1-2 = 4 พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันตก ½ เป็นจำนวนตรรกยะ เชียงใหม่เป็นจังหวัดหนึ่งของภาคเหนือ 1 ไม่เป็นจำนวนจริง จะเห็นว่าประโยคข้างต้น เราสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ คือข้อความที่อยู่ในรูปคำอุทาน, คำถาม หรือข้อความที่บอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ เช่น r เป็นจำนวนตรรกยะ (เราไม่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือไม่จริง เพราะเราไม่รู้ว่า r คืออะไร) x² = 1 (เราไม่รู้ว่า x คืออะไร จึงไม่เป็นประพจน์) ฝากซื้อข้าวด้วยนะ (เป็นประโยคขอร้อง ดังนั้นไม่เป็นประพจน์) ค่าความจริงของประพจน์ค่าความจริงของประพจน์มี 2 แบบ คือ 1.) ค่าความจริงเป็นจริง (True) เราจะแทนด้วย T 2.) ค่าความจริงเป็นเท็จ (False) เราจะแทนด้วย F เช่น หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ p : 2+5 = 7 q : พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก r : เดือนกุมภาพันธ์มี 30 วัน s : 1>2 จากโจทย์ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นจริง(T) q มีค่าความจริงเป็นจริง(T) r มีค่าความจริงเป็นเท็จ(F) เพราะเดือนกุมภาพันธ์ไม่ได้มี 30 วัน s มีค่าความจริงเป็นเท็จ(F) เพราะ 1<2 นิเสธนิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ∼p คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ p เช่น p : วันนี้ฝนตก ~p : วันนี้ฝนไม่ตก q : คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ไม่ยาก ~q : คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ยาก r : นิดหน่อยเป็นผู้หญิง ~r : นิดหน่อยไม่เป็นผู้หญิง การเชื่อมประพจน์กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ 1.) p∧q อ่านว่า p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงแค่กรณีเดียว คือ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ เช่น p : กรุงเทพมหานครอยู่ในประเทศไทย q : เชียงใหม่อยู่ในประเทศไทย ดังนั้น p∧q มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นจริง Trick!! ประพจน์ที่เชื่อมกันด้วย “และ” ถ้าเป็นเท็จ(F)แค่อันเดียว ก็ถือว่าประพจน์นั้นเป็นเท็จ 2.) p∨q อ่านว่า p หรือ q มีค่าความจริงเป็นเท็จแค่กรณีเดียว คือ ทั้งp และq มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่ ถ้ามองให้เห็นภาพง่ายขึ้น เราจะยกตัวอย่างสิ่งที่เห็นในขีวิตประจำวันบ่อยๆ คือคุณสมบัติการสมัครงาน วุฒิการศึกษาที่ต้องการ : วิทยาศาสตรบัณฑิต สาขา คณิตศาสตร์ หรือ สาขาสถิติ พิจารณาข้อความดังกล่าว ถ้าเราไม่ได้จบทั้งสองสาขามาเราก็ไม่มีสิทธิสมัครงานนี้ได้ Trick!! ประพจน์ที่เชื่อมกันด้วย “หรือ” ถ้าเป็นจริง(T)แค่อันเดียว ก็ถือว่าประพจน์นั้นเป็นจริง 3.) p→q อ่านว่า ถ้า p แล้ว q เป็นประโยคที่เป็นเหตุเป็นผลกัน โดย p เป็นเหตุ และ q เป็น ผล ประพจน์ ถ้า…แล้ว… เป็นเท็จได้กรณีเดียวเท่านั้น คือ ประพจน์ที่เป็นเหตุมีค่าความจริงเป็นจริง และประพจน์ที่เป็นผลมีค่าความจริงเป็นเท็จ เช่น Trick!! จำแค่กรณีเดียว คือ หน้าจริงหลังเท็จได้เท็จ นอกนั้นจริงหมด 4.) p↔q อ่านว่า p ก็ต่อเมื่อ q มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน ถ้า p มีค่าความจริงเป็นจริง q ก็ต้องมีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์นี้ถึงจะมีค่าความจริงเป็นจริง ตัวอย่างจาก ข้อ 3.) Trick!! วิธีจำคือ เหมือนจริง ต่างเท็จ ตัวอย่าง1.) ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ บอกเหตุผลประกอบ 1.1) เธอว่ายน้ำเป็นหรือไม่ 1.2) มีคนอยู่บนดาวอังคาร 1.3) ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x +0 = x แนวคำตอบ 1.1) ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถาม 1.2) เป็นประพจน์ เพราะสามารถตอบได้ว่ามีค่าความจริงเป็นเท็จ 1.3) เป็นประพจน์ เพราะ เรารู้ว่า x คือจำนวนเต็ม เราจึงรู้ว่าค่าความจริงเป็นจริง 1.4) ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคขอร้อง 2.) บอกค่าความจริงต่อไปนี้ 2.1) 5 เป็นจำนวนเฉพาะและเป็นจำนวนคี่ วิธีทำ ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นจริง 2.2) 8 เป็นจำนวนคี่หรือจำนวนคู่ วิธีทำ ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นจริง 2.3) ถ้า 3 หาร 9 ลงตัวแล้ว 9 เป็นจำนวนคู่ วิธีทำ ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2.4) 20 เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 20 หารด้วย 2 ลงตัว วิธีทำ ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นจริง |