การเพ มจำนวนของเช อท อ ณหภ ม ท ต างก น

สวัสดีน้องๆ ทุกคนน้าา วันนี้พี่ๆ SMP จะมาแจกสรุปเนื้อหา “เซต” ใน คณิต ม.4 และยังเป็นบทเรียนแรกที่น้องต้องเจอสำหรับคณิตม.ปลาย (อิงตามหลักสูตร สสวท.) อีกด้วย โดยจะพูดถึงความรู้พื้นฐานที่น้องๆ ควรรู้ เช่น ความหมายของเซต แผนภาพเวนน์ และมีตัวอย่างโจทย์ปัญหาให้น้องๆ ได้ดูกัน ที่สำคัญ คือ พี่มีแจกเช็กลิสต์จุดระวังพลาดสำหรับเรื่องเซตให้ด้วยน้าาา ถ้าใครพร้อมแล้ว ไปอ่านบทความกันเลยย > <

เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่สนใจ โดยเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดจะสามารถบอกได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่กลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม มักใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่ในการกล่าวถึงเซต เช่น กลุ่มของประเทศในเอเชีย

• ตัวอย่างเซต เช่น เซตของประเทศในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้
• ตัวอย่างของสิ่งที่ไม่ใช่เซต เช่น เซตของคนหน้าตาดี (เพราะไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าแต่ละคนอยู่หรือไม่อยู่ในกลุ่มนี้)

สมาชิก คือ สิ่งที่อยู่ในเซต โดยใช้สัญลักษณ์ ∈ แทนการเป็นสมาชิกของเซต

• ตัวอย่าง ถ้า 7 เป็นสมาชิกของเซต A จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 ∈ A

วิธีการเขียนเซตรูปแบบต่างๆ

การเขียนเซต เราจะสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ ได้แก่

1. แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวของเซต โดยใช้ { } ครอบสมาชิกของเซตทั้งหมด และใช้, เพื่อแยกสมาชิกแต่ละตัว เช่น {ม่วง, คราม, น้ำเงิน, เขียว, เหลือง, แสด, แดง}
2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรแทนสมาชิกแล้วบรรยายสมบัติหรือเงื่อนไข เช่น {x | x คือสีที่เป็นองค์ประกอบของสีรุ้ง}

เซต (Set) มีกี่ชนิด ?

เซตจะถูกแบ่งเป็น 2 ชนิด คือ เซตจำกัดและเซตอนันต์ โดยจะมีความแตกต่างกันตามวิธีการแยกแยะดังนี้

เซตจำกัด

เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก (บอกจำนวนได้) เช่น A = {1, 2, 3, 4} ก็คือ เซต A มีสมาชิกทั้งหมด 4 ตัว นั้นก็คือบอกจำนวนได้ จึงเป็นเซตจำกัด

เซตอนันต์

เซตอนันต์ จะตรงข้ามกับ เซตจำกัด หรือเรียกว่า เป็นเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน เราจะไม่สามารถระบุจำนวนของสมาชิกได้ เช่น Q = {1, 2, 3, …} จะเห็นว่า เซต Q เราไม่สามารถระบุได้ว่า สมาชิกตัวสุดท้ายคืออะไร และสุดท้ายมีจำนวนสมาชิกเท่าไหร่ นั่นทำให้ เซต Q เป็นเซตอนันต์นั่นเอง

จำนวนสมาชิกของเซต

ใช้สัญลักษณ์ n(A) แทนสมาชิกของเซตจำกัด A

• ตัวอย่าง ให้ A = {1, b, ขนมปัง} จะได้ว่า n(A) = 3
• หากในเซตมีสมาชิกซ้ำกัน จะนับสมาชิกที่ซ้ำรวมเป็นตัวเดียว

เซตว่าง คืออะไร หน้าตาเป็นอย่างไร ?

คือ เซต ที่ไม่มีสมาชิก โดยใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ แทนเซตว่าง เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 0

เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตจะต้องกำหนดเขตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตกำหนดเขตนี้ว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) ซึ่งมักเขียนแทนด้วย 𝒰

สำหรับเอกภพสัมพัทธ์ที่พบบ่อย เช่น

ℕ คือ เซต ของจำนวนนับ หรือ จำนวนเต็มบวก

ℤ คือ เซตของจำนวนเต็ม

ℝ คือ เซตของจำนวนจริง

เซตที่เท่ากัน

A = B หมายความว่า เซต A และเซต B มีสมาชิกทุกตัวในเซตทั้งสองเหมือนกัน

สับเซต

เซต A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ⊂ B

• ตัวอย่าง ให้ A = {1, a} จะได้ว่า สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅, {1}, {a}, {1, a}

โดยมีสมบัติของสับเซตที่น่าสนใจคือ

• ∅ เป็นสับเซตของทุกเซต
• A เป็นสับเซตของ A
• ถ้าเซต A มีสมาชิก n ตัว จะได้ว่า A มีสับเซตทั้งหมด 2n ตัว

เพาเวอร์เซต

เรียกเซตของสับเซตทั้งหมดของ A ว่า เพาเวอร์เซต (Power Set) ของ A เขียนแทนด้วย P(A)

• ตัวอย่าง ให้ A = {1, a}
• จะได้ว่า P(A) = {∅, {1}, {a}, {1, a}}

แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์เป็นการแสดงเซตเป็นภาพ ซึ่งช่วยให้เห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต และใช้การแก้ปัญหาเรื่องเซตได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} สามารถเขียนเป็นแผนภาพเวนน์ ดังรูป

การดำเนินการระหว่างเซต

การดำเนินการของเซต

• อินเตอร์เซกชัน : A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ทั้งในเซต A และเซต B

• ยูเนียน : A ∪ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ในเซต A หรือ เซต B หรือทั้งคู่ก็ได้

• คอมพลีเมนต์ : A′ = {x | x ∈ 𝒰 และ x ∉ A} ไม่อยู่ในเซต A (แต่ยังอยู่ใน 𝒰 นะ)

• ผลต่างระหว่างเซต : A – B = {x | x ∈ A และ x ∉ B} อยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B

ตัวอย่าง

ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} จะได้ว่า

1. A ∩ B = {6}
2. A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}
3. A – B = {1, 5}
4. B – A = {2, 4}
5. A′ = {2, 3, 4}
6. B′ = {1, 3, 5}

เก็บเนื้อหาคณิต ม.4 พร้อมรับเกรดปังๆ เปิดเทอมนี้ !

น้องม.4 คนไหนที่กำลังมองหาคอร์สติวเสริมเกรด แนะนำคอร์สของ SmartMathPro เลย เพราะเริ่มสอนตั้งแต่พื้นฐาน อิงเนื้อหาตามหลักสูตร สสวท. พร้อมตะลุยโจทย์อีกมากมายให้ซ้อมมือก่อนสอบจริงที่โรงเรียน

สมัครคอร์ส คลิกเลย

สมบัติของการดำเนินการระหว่าง เซต

การแก้ปัญหาโดยใช้เซต

มักใช้แผนภาพเวนน์มาใช้ร่วมกับสูตรจำนวนสมาชิก

สูตรจำนวนสมาชิกของเซต

• สำหรับ 2 เซต (แผนภาพเซต 2 วง)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

• สำหรับ 3 เซต (แผนภาพเซต 3 วง)

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้เซต

ตัวอย่าง จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 40 คนเกี่ยวกับการเลี้ยงสัตว์ 3 ชนิด ได้แก่ แมว สุนัข และนก ได้ผลสำรวจดังนี้

• 15 คน เลี้ยงแมว
• 17 คน เลี้ยงสุนัข
• 12 คน เลี้ยงนก
• 7 คน เลี้ยงแมวและสุนัข
• 4 คน เลี้ยงแมวและนก
• 5 คน เลี้ยงสุนัขและนก
• และมีนักเรียน 3 คนที่เลี้ยงสัตว์ครบทั้ง 3 ชนิด

จากข้อมูลดังกล่าว จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. มีนักเรียนกี่คนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด
2. มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย

วิธีทำ ในข้อนี้ เราจะนำเซตมาใช้แก้ปัญหา โดยเราจะกำหนดให้

A แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมว n(A) = 15

B แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัข n(B) = 17

C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงนก n(C) = 12

จากการกำหนดเซตข้างต้น ทำให้กลุ่มอื่นๆ ในโจทย์ แทนด้วยเซตที่เกิดจาก การดำเนินการระหว่างเซต ดังนี้

A ∩ B แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและสุนัข n(A ∩ B) = 7

A ∩ C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและนก n(A ∩ C) = 4

B ∩ C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัขและนก n(B ∩ C) = 5

และ A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์ทั้ง 3 ชนิด n(A ∩ B ∩ C) = 3

1.) กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด (เลี้ยงแมว หรือสุนัข หรือนก โดยจะเลี้ยงหลายชนิดก็ได้)

แทนด้วยเซต A ∪ B ∪ C

จากสูตร 3 เซต n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

จะได้ว่า n(A ∪ B ∪ C) = 15 + 17 + 12 – 7 – 4 – 5 + 3 = 31

นั่นคือ มีนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด จำนวน 31 คน

ตอบ31 คน

2.) กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย แทนด้วยเซต (A ∪ B ∪ C)′

แต่เพื่อความง่าย สามารถมองได้ว่า

กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย ตรงข้ามกับ กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด

เนื่องจาก มีนักเรียนทั้งหมด 40 คน เป็นนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด เป็นจำนวน 31 คน

ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย จำนวน 40 – 31 = 9 คน

ตอบ 9 คน

หากสร้างแผนภาพเวนน์เพื่อแสดงจำนวนของนักเรียนแต่ละกลุ่มย่อย จะได้ผลลัพธ์เป็นดังนี้

ดูคลิปติวเรื่อง "เซต"

เนื้อหาที่พวกพี่ๆ เตรียมมาให้วันนี้เป็นยังไงบ้างเอ่ย น้องๆ คนไหนที่กำลังจะขึ้นม.ปลาย หรือกำลังเรียนอยู่ชั้นม.ปลาย เวลาเจอเรื่องที่ไม่เข้าใจก็ไม่ต้องกังวลไปหรอกนะ ! เนื้อหาคณิต ม.4 ไม่ได้ยากอย่างที่คิดเลยย ขอแค่ทบทวนบทเรียนหรือจะลองฝึกทำโจทย์ใน moremath ก็ได้ แล้วเดี๋ยวครั้งหน้าพี่จะเอาสรุปเนื้อหาดีๆ มาแบ่งปันทุกคนอีกนะ รอติดตามได้เล้ยย