สมการในการหาค่าแรงสู่ศูนย์กลาง

ผูกวัตถุมวล 100 กรัม ไว้ที่ปลายหนึ่งของเชือก แกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบระดับด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอ และรัศมี 0.500 เมตร ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ครบ 2 รอบใช้เวลา 1.0 วินาที จงกา ก. ความเร่งสูศูนย์กลาง ข. แรงสู่ศูนย์กลาง

สารบัญ Show

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ
การเคลื่อนที่แบบวงกลมไม่สม่ำเสมอ
การเคลื่อนที่แบบระนาบทั่วไป
สมการในการหาค่าแรงสู่ศูนย์กลางคืออะไร
S UT คือสูตรอะไร
แรงสู่ศูนย์กลางมีหน่วยเป็นอะไร *
แรงศูนย์กลางคืออะไร

แรงสู่ศูนย์กลาง (จากภาษาละติน Centrum "ศูนย์" และpetere "จะแสวงหา" [1] ) เป็นแรงที่ทำให้ร่างกายเป็นไปตามโค้งเส้นทาง ทิศทางของมันมักจะตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของร่างกายและไปยังจุดคงที่ของศูนย์กลางความโค้งของเส้นทางในทันที ไอแซกนิวตันอธิบายว่าเป็น "แรงที่ร่างกายถูกดึงหรือผลักหรือมีแนวโน้มไปสู่จุดศูนย์กลาง" ในทางใดทางหนึ่ง [2]ในกลศาสตร์นิวตันแรงโน้มถ่วงให้แรงสู่ศูนย์กลางก่อให้เกิดดาราศาสตร์วงโคจร

ตัวอย่างทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับแรงสู่ศูนย์กลางคือกรณีที่ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอไปตามเส้นทางวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางจะพุ่งไปที่มุมฉากกับการเคลื่อนที่และตามรัศมีไปยังจุดศูนย์กลางของเส้นทางวงกลม [3] [4]คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้มาใน 1659 โดยนักฟิสิกส์ดัตช์Christiaan Huygens [5]

ขนาดของแรงสู่ศูนย์กลางบนวัตถุมวลmเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมผัส vตามเส้นทางที่มีรัศมีความโค้ง rคือ: [6]

ฉค=มกค=มv2ร{\ displaystyle F_ {c} = ma_ {c} = {\ frac {mv ^ {2}} {r}}} $F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}$ กค=ลิมΔt→0|Δv|Δt{\ displaystyle a_ {c} = \ lim _ {\ Delta {t} \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {v}} |} {\ Delta {t}}}} $a_{c}=\lim _{\Delta {t}\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta {t}}}$

ที่ไหน กค{\ displaystyle a_ {c}} a_c คือความเร่งศูนย์กลางและΔv{\ displaystyle \ Delta {\ textbf {v}}} $\Delta {\textbf {v}}$ คือความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ความเร็ว เนื่องจากเวกเตอร์ความเร็วในแผนภาพด้านบนมีขนาดคงที่และเนื่องจากเวกเตอร์แต่ละตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์ตำแหน่งตามลำดับการลบเวกเตอร์อย่างง่ายจึงหมายถึงรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่คล้ายกันสองรูปที่มีมุมที่เท่ากัน - อันหนึ่งประกอบไปด้วยฐานของΔv{\ displaystyle \ Delta {\ textbf {v}}} $\Delta {\textbf {v}}$ และขายาวv{\ displaystyle v}และอีกอันเป็นฐานของΔร{\ displaystyle \ Delta {\ textbf {r}}} $\Delta {\textbf {r}}$ ( ความแตกต่างของเวกเตอร์ตำแหน่ง) และความยาวของขาร{\ displaystyle r}: [7]

|Δv|v=|Δร|ร{\ displaystyle {\ frac {| \ Delta {\ textbf {v}} |} {v}} = {\ frac {| \ Delta {\ textbf {r}} |} {r}}} ${\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}$ |Δv|=vร|Δร|{\ displaystyle | \ Delta {\ textbf {v}} | = {\ frac {v} {r}} | \ Delta {\ textbf {r}} |} $|\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|$

ดังนั้น, |Δv|{\ displaystyle | \ Delta {\ textbf {v}} |} $|\Delta {\textbf {v}}|$ สามารถทดแทนด้วย vร|Δร|{\ displaystyle {\ frac {v} {r}} | \ Delta {\ textbf {r}} |} ${\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|$ : [7]

กค=ลิมΔt→0|Δv|Δt=vรลิมΔt→0|Δร|Δt=ωลิมΔt→0|Δร|Δt=vω=v2ร{\ displaystyle a_ {c} = \ lim _ {{\ Delta} t \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {v}} |} {\ Delta {t}}} = {\ frac { v} {r}} \ lim _ {{\ Delta} t \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {r}} |} {\ Delta {t}}} = \ omega \ lim _ { {\ Delta} t \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {r}} |} {\ Delta {t}}} = v \ omega = {\ frac {v ^ {2}} {r }}} $a_{c}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta {t}}}={\frac {v}{r}}\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta {t}}}=\omega \lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta {t}}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}$

ทิศทางของแรงจะเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่หรือวงกลมที่กำลังสั่น (วงกลมที่พอดีกับเส้นทางท้องถิ่นของวัตถุมากที่สุดหากเส้นทางนั้นไม่เป็นวงกลม) [8]ความเร็วในสูตรเป็นกำลังสองดังนั้นความเร็วสองเท่าจึงต้องการแรงสี่เท่า ความสัมพันธ์ผกผันกับรัศมีความโค้งแสดงให้เห็นว่าครึ่งหนึ่งของระยะรัศมีต้องใช้แรงเป็นสองเท่า บางครั้งแรงนี้ยังเขียนในรูปของความเร็วเชิงมุม ωของวัตถุเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งเกี่ยวข้องกับความเร็วสัมผัสโดยสูตร

v=ωร{\ displaystyle v = \ โอเมก้า r} $v = \omega r$

ดังนั้น

ฉค=มรω2.{\ displaystyle F_ {c} = mr \ omega ^ {2} \ ,. } $F_{c}=mr\omega ^{2}\,.$

แสดงโดยใช้คาบ การโคจรTสำหรับการปฏิวัติหนึ่งรอบของวงกลม

ω=2πที{\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}} \,} $\omega ={\frac {2\pi }{T}}\,$

สมการจะกลายเป็น

ฉค=มร(2πที)2.{\ displaystyle F_ {c} = mr \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) ^ {2}.} $F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.$ [9]

ในเครื่องเร่งอนุภาคความเร็วอาจสูงมาก (ใกล้เคียงกับความเร็วแสงในสุญญากาศ) ดังนั้นมวลที่เหลือเท่าเดิมจึงออกแรงเฉื่อย (มวลเชิงสัมพันธ์) มากขึ้นดังนั้นจึงต้องใช้แรงมากขึ้นสำหรับความเร่งศูนย์กลางเท่ากันดังนั้นสมการจึงกลายเป็น: [10]

ฉค=γมv2ร{\ displaystyle F_ {c} = {\ frac {\ gamma mv ^ {2}} {r}}} $F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}$

ที่ไหน

γ=11-v2ค2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

เป็นปัจจัย Lorentz

ดังนั้นแรงสู่ศูนย์กลางจึงได้รับจาก:

ฉค=γมvω{\ displaystyle F_ {c} = \ gamma mv \ omega} $F_{c}=\gamma mv\omega$

ซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ γมv{\ displaystyle \ gamma mv} $\gamma mv$ .

ในกรณีของวัตถุที่แกว่งไปมาที่ปลายเชือกในแนวระนาบแรงสู่ศูนย์กลางบนวัตถุนั้นมาจากความตึงของเชือก ตัวอย่างเชือกเป็นตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับแรง "ดึง" แรงสู่ศูนย์กลางนอกจากนี้ยังสามารถจัดเป็น 'ดัน' แรงเช่นในกรณีที่เกิดปฏิกิริยาปกติของผนังวัสดุแรงสู่ศูนย์กลางสำหรับผนังของการตายของไรเดอร์

นิวตันคิด 's ของแรงสู่ศูนย์กลางสอดคล้องกับสิ่งที่เรียกในปัจจุบันเพื่อเป็นแรงกลาง เมื่อดาวเทียมอยู่ในวงโคจรรอบดาวเคราะห์แรงโน้มถ่วงถือเป็นแรงสู่ศูนย์กลางแม้ว่าในกรณีของวงโคจรที่ผิดปกติแรงโน้มถ่วงจะพุ่งไปที่โฟกัสและไม่เข้าสู่จุดศูนย์กลางของความโค้งในทันที [11]

อีกตัวอย่างหนึ่งของแรงสู่ศูนย์กลางเกิดขึ้นในเกลียวที่ถูกตรวจจับเมื่ออนุภาคที่มีประจุเคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ ในกรณีนี้แรงแม่เหล็กคือแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อแกนเกลียว

ด้านล่างนี้คือสามตัวอย่างของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นโดยมีที่มาของสูตรที่ควบคุมความเร็วและความเร่ง

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ

การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอหมายถึงกรณีของอัตราการหมุนคงที่ นี่คือสองวิธีในการอธิบายกรณีนี้

อนุพันธ์ของแคลคูลัส

ในสองมิติเวกเตอร์ตำแหน่ง ร{\ displaystyle {\ textbf {r}}} $\textbf{r}$ ซึ่งมีขนาด (ความยาว) ร{\ displaystyle r} และพุ่งไปที่มุมหนึ่ง θ{\ displaystyle \ theta} $\theta$ เหนือแกน x สามารถแสดงในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยใช้เวกเตอร์หน่วย x^{\ displaystyle {\ hat {x}}} ${\hat {x}}$ และ ย^{\ displaystyle {\ hat {y}}} ${\hat {y}}$ : [12]

ร=รcos⁡(θ)x^+รบาป⁡(θ)ย^.{\ displaystyle {\ textbf {r}} = r \ cos (\ theta) {\ hat {x}} + r \ sin (\ theta) {\ hat {y}}} $\textbf{r} = r \cos(\theta) \hat{x} + r \sin(\theta) \hat{y}.$

สมมติว่าการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอซึ่งต้องใช้สามสิ่ง

วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมเท่านั้น
รัศมีของวงกลม ร{\ displaystyle r} ไม่เปลี่ยนแปลงในเวลา
วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ω{\ displaystyle \ omega} $\omega$ รอบ ๆ วงกลม ดังนั้น,θ=ωt{\ displaystyle \ theta = \ โอเมก้า t} $\theta = \omega t$ ที่ไหน t{\ displaystyle t} เป็นเวลา

ตอนนี้หาความเร็ว v{\ displaystyle {\ textbf {v}}} $\textbf{v}$ และการเร่งความเร็ว ก{\ displaystyle {\ textbf {a}}} $\textbf{a}$ ของการเคลื่อนไหวโดยการหาอนุพันธ์ของตำแหน่งตามเวลา

ร=รcos⁡(ωt)x^+รบาป⁡(ωt)ย^{\ displaystyle {\ textbf {r}} = r \ cos (\ omega t) {\ hat {x}} + r \ sin (\ omega t) {\ hat {y}}} $\textbf{r} = r \cos(\omega t) \hat{x} + r \sin(\omega t) \hat{y}$ ร˙=v=-รωบาป⁡(ωt)x^+รωcos⁡(ωt)ย^{\ displaystyle {\ dot {\ textbf {r}}} = {\ textbf {v}} = - r \ omega \ sin (\ omega t) {\ hat {x}} + r \ omega \ cos (\ omega เสื้อ) {\ hat {y}}} $\dot{\textbf{r}} = \textbf{v} = - r \omega \sin(\omega t) \hat{x} + r \omega \cos(\omega t) \hat{y}$ ร¨=ก=-รω2cos⁡(ωt)x^-รω2บาป⁡(ωt)ย^{\ displaystyle {\ ddot {\ textbf {r}}} = {\ textbf {a}} = - r \ omega ^ {2} \ cos (\ omega t) {\ hat {x}} - r \ omega ^ {2} \ sin (\ omega t) {\ hat {y}}} $\ddot{\textbf{r}} = \textbf{a} = - r \omega^2 \cos(\omega t) \hat{x} - r \omega^2 \sin(\omega t) \hat{y}$ ก=-ω2(รcos⁡(ωt)x^+รบาป⁡(ωt)ย^){\ displaystyle {\ textbf {a}} = - \ omega ^ {2} (r \ cos (\ omega t) {\ hat {x}} + r \ sin (\ omega t) {\ hat {y}} )} $\textbf{a} = - \omega^2 (r \cos(\omega t) \hat{x} + r \sin(\omega t) \hat{y})$

สังเกตว่าคำในวงเล็บคือนิพจน์ดั้งเดิมของ ร{\ displaystyle {\ textbf {r}}} $\textbf{r}$ ในพิกัดคาร์ทีเซียน ด้วยเหตุนี้

ก=-ω2ร.{\ displaystyle {\ textbf {a}} = - \ omega ^ {2} {\ textbf {r}}} $\textbf{a} = - \omega^2 \textbf{r}.$

เชิงลบแสดงให้เห็นว่าความเร่งชี้ไปที่ศูนย์กลางของวงกลม (ตรงข้ามกับรัศมี) จึงเรียกว่า "ศูนย์กลาง" (เช่น "หาศูนย์กลาง") ในขณะที่วัตถุเป็นไปตามธรรมชาติตามเส้นทางตรง (เนื่องจากความเฉื่อย ) การเร่งความเร็วของศูนย์กลางนี้อธิบายถึงเส้นทางการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่เกิดจากแรงสู่ศูนย์กลาง

การหาที่มาโดยใช้เวกเตอร์

ความสัมพันธ์ของเวกเตอร์สำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ เวกเตอร์ Ωเป็นตัวแทนของการหมุนเป็นปกติกับระนาบของวงโคจรที่มีขั้วกำหนดโดย กฎขวามือและขนาด dθ / dt

ภาพด้านขวาแสดงความสัมพันธ์ของเวกเตอร์สำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ การหมุนนั้นแสดงด้วยเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมΩซึ่งเป็นเรื่องปกติของระนาบของวงโคจร (โดยใช้กฎทางขวามือ ) และมีขนาดที่กำหนดโดย:

|Ω|=งθงt=ω ,{\ displaystyle | \ mathbf {\ Omega} | = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \,} $|\mathbf{\Omega}| = \frac {\mathrm{d} \theta } {\mathrm{d}t} = \omega \ ,$

กับθตำแหน่งเชิงมุมในเวลาที ในส่วนย่อยนี้ d θ / d tจะถือว่าเป็นค่าคงที่โดยไม่ขึ้นกับเวลา ระยะทางที่เดินทางdℓของอนุภาคในเวลา d tตามเส้นทางวงกลมคือ

งℓ=Ω×ร(t)งt ,{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {r} (t) \ mathrm {d} t \,} $\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t) \mathrm{d}t \ ,$

ซึ่งโดยคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้ามเวกเตอร์มีขนาดr d θและอยู่ในทิศทางที่สัมผัสกับเส้นทางวงกลม

ด้วยเหตุนี้

งรงt=ลิมΔt→0ร(t+Δt)-ร(t)Δt=งℓงt .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = \ lim _ {{\ Delta} t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t + {\ Delta} t) - \ mathbf {r} (t)} {{\ Delta} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}}} {\ mathrm {d } t}} \.} $\frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \lim_{{\Delta}t \to 0} \frac {\mathbf{r}(t + {\Delta}t)-\mathbf{r}(t)}{{\Delta}t} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}}{\mathrm{d}t} \ .$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

v =งจฉ งรงt=งℓงt=Ω×ร(t) .{\ displaystyle \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = { \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {\ boldsymbol {\ ell}}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {r} (t) \.} $\mathbf{v}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{\boldsymbol{\ell}}}{\mathrm{d}t} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\ .$

ความแตกต่างตามกาลเวลา

ก =งจฉ งvงt=Ω×งร(t)งt=Ω×[Ω×ร(t)] .{\ displaystyle \ mathbf {a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {d \ mathrm {t}}} = \ mathbf {\ Omega} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ left [\ mathbf {\ โอเมก้า} \ times \ mathbf {r} (t) \ right] \.} $\mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .$

สูตรของ Lagrangeระบุ:

ก×(ข×ค)=ข(ก⋅ค)-ค(ก⋅ข) .{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ left (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c} \ right) = \ mathbf {b} \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} \ ขวา) - \ mathbf {c} \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ right) \.} $\mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .$

ใช้สูตรของ Lagrange โดยสังเกตว่าΩ• r ( t ) = 0 ตลอดเวลา

ก=-|Ω|2ร(t) .{\ displaystyle \ mathbf {a} = - {| \ mathbf {\ Omega |}} ^ {2} \ mathbf {r} (t) \.} $\mathbf{a} = - {|\mathbf{\Omega|}}^2 \mathbf{r}(t) \ .$

กล่าวคือความเร่งจะชี้ตรงตรงข้ามกับการกระจัดในแนวรัศมีrตลอดเวลาและมีขนาด:

|ก|=|ร(t)|(งθงt)2=รω2 {\ displaystyle | \ mathbf {a} | = | \ mathbf {r} (t) | \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ { 2} = r {\ โอเมก้า} ^ {2} \} $|\mathbf{a}| = |\mathbf{r}(t)| \left ( \frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2 = r {\omega}^2\$

โดยที่แถบแนวตั้ง | ... | แสดงขนาดเวกเตอร์ซึ่งในกรณีของr ( t ) เป็นเพียงรัศมีrของเส้นทาง ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับส่วนก่อนหน้าแม้ว่าสัญกรณ์จะแตกต่างกันเล็กน้อย

เมื่ออัตราการหมุนคงที่ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอการวิเคราะห์นั้นจะเห็นด้วยกับการวิเคราะห์นี้

ข้อดีของวิธีเวกเตอร์คือมันเป็นอิสระจากระบบพิกัดใด ๆ อย่างชัดเจน

ตัวอย่าง: เทิร์นที่แถ

แผงด้านบน: ลูกบอลบนรางกลมที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v ; แผงด้านล่าง: กองกำลังบนลูกบอล

แผงด้านบนของภาพทางด้านขวาแสดงลูกบอลที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมบนเส้นโค้งที่เอียง เส้นโค้งเอียงเป็นมุมθจากแนวนอนและถือว่าพื้นผิวถนนลื่น มีวัตถุประสงค์เพื่อค้นหาว่าจะต้องมีมุมใดเพื่อให้ลูกบอลไม่ไถลออกนอกถนน [13]สัญชาตญาณบอกเราว่าบนทางโค้งที่ราบเรียบโดยไม่มีธนาคารเลยลูกบอลจะไถลออกจากถนน ในขณะที่มีตลิ่งที่สูงชันมากลูกบอลจะเลื่อนไปตรงกลางเว้นแต่ว่าจะเคลื่อนที่เข้าโค้งอย่างรวดเร็ว

นอกเหนือจากการเร่งความเร็วใด ๆ ที่อาจเกิดขึ้นในทิศทางของเส้นทางแล้วแผงด้านล่างของภาพด้านบนยังระบุแรงบนลูกบอล มีสองกองกำลัง; หนึ่งเป็นแรงโน้มถ่วงของโลกในแนวตั้งลงผ่านจุดศูนย์กลางมวลของลูกมก.ที่ม.คือมวลของลูกและกรัมเป็นอัตราเร่งแรงโน้มถ่วง ; สองคือขึ้นปกติแรงกระทำโดยถนนที่มุมขวากับพื้นผิวถนนม n แรงสู่ศูนย์กลางที่เรียกร้องจากการเคลื่อนที่แบบโค้งแสดงไว้ด้านบนด้วย นี้แรงสู่ศูนย์กลางไม่ได้เป็นแรงที่สามนำไปใช้กับลูก แต่ต้องให้โดยแรงสุทธิที่ลูกที่เกิดจากการนอกจากเวกเตอร์ของแรงปกติและแรงโน้มถ่วง ผลลัพธ์หรือแรงสุทธิบนลูกบอลที่พบโดยการบวกเวกเตอร์ของแรงปกติที่กระทำโดยถนนและแรงในแนวดิ่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะต้องเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางที่กำหนดโดยความจำเป็นในการเดินทางเป็นวงกลม การเคลื่อนที่แบบโค้งจะคงอยู่ตราบเท่าที่แรงสุทธินี้ให้แรงสู่ศูนย์กลางที่จำเป็นต่อการเคลื่อนที่

แรงสุทธิแนวนอนบนลูกบอลเป็นส่วนประกอบแนวนอนของแรงจากถนนซึ่งมีขนาด | F h | = ม. | a n | บาปθ . ส่วนประกอบแนวตั้งของแรงจากถนนต้องต่อต้านแรงโน้มถ่วง: | F v | = ม. | กn | cos θ = m | g | ซึ่งหมายถึง | a n | = | g | / cos θ . แทนที่เป็นสูตรข้างต้นสำหรับ | F h | ให้แรงแนวนอนเป็น:

|ฉซ|=ม|ก|sผมn θคos θ=ม|ก|tกn θ .{\ displaystyle | \ mathbf {F} _ {\ mathrm {h}} | = m | \ mathbf {g} | {\ frac {\ mathrm {sin} \ \ theta} {\ mathrm {cos} \ \ theta} } = m | \ mathbf {g} | \ mathrm {tan} \ \ theta \.} $|\mathbf{F}_\mathrm{h}| = m |\mathbf{g}| \frac { \mathrm{sin}\ \theta}{ \mathrm {cos}\ \theta} = m|\mathbf{g}| \mathrm{tan}\ \theta \ .$

ในทางกลับกันด้วยความเร็ว | v | บนเส้นทางวงกลมของรัศมีrจลนศาสตร์กล่าวว่าแรงที่จำเป็นในการหมุนลูกบอลอย่างต่อเนื่องในการเลี้ยวคือแรงสู่ศูนย์กลางเข้าด้านในรัศมีF cของขนาด:

|ฉค|=ม|กค|=ม|v|2ร .{\ displaystyle | \ mathbf {F} _ {\ mathrm {c}} | = m | \ mathbf {a} _ {\ mathrm {c}} | = {\ frac {m | \ mathbf {v} | ^ { 2}} {r}} \.} $|\mathbf{F}_\mathrm{c}| = m |\mathbf{a}_\mathrm{c}| = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \ .$

ดังนั้นลูกบอลจึงอยู่ในเส้นทางที่มั่นคงเมื่อกำหนดมุมของถนนให้เป็นไปตามเงื่อนไข:

ม|ก|tกn θ=ม|v|2ร ,{\ displaystyle m | \ mathbf {g} | \ mathrm {tan} \ theta = {\ frac {m | \ mathbf {v} | ^ {2}} {r}} \,} $m |\mathbf{g}| \mathrm{tan}\ \theta = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \ ,$

หรือ,

tกn θ=|v|2|ก|ร .{\ displaystyle \ mathrm {tan} \ theta = {\ frac {| \ mathbf {v} | ^ {2}} {| \ mathbf {g} | r}} \.} $\mathrm{tan}\ \theta = \frac {|\mathbf{v}|^2} {|\mathbf{g}|r} \ .$

ในฐานะที่เป็นมุมของธนาคารθแนวทาง 90 °ที่ฟังก์ชั่นสัมผัสวิธีอินฟินิตี้ที่ช่วยให้ค่าขนาดใหญ่ | v | 2 / ร . กล่าวคือสมการนี้ระบุว่าสำหรับความเร็วที่มากขึ้น (ใหญ่กว่า | v |) ถนนจะต้องลาดชันมากขึ้น (ค่าที่มากกว่าสำหรับθ ) และสำหรับการเลี้ยวที่คมขึ้น ( rเล็กลง) ถนนจะต้องลาดชันมากขึ้นซึ่งสอดคล้องกับ ด้วยสัญชาตญาณ เมื่อมุมθไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้นส่วนประกอบแนวนอนของแรงที่กระทำโดยถนนจะไม่ให้แรงสู่ศูนย์กลางที่ถูกต้องและมีการเรียกแรงเสียดทานเพิ่มเติมที่สัมผัสกับพื้นผิวถนนเพื่อให้เกิดความแตกต่าง หากแรงเสียดทานไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ (นั่นคือเกินสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน ) ลูกบอลจะเลื่อนไปยังรัศมีที่แตกต่างกันซึ่งสามารถรับรู้ถึงความสมดุลได้ [14] [15]

แนวคิดเหล่านี้ใช้กับเที่ยวบินทางอากาศเช่นกัน ดูคู่มือนักบินของ FAA [16]

การเคลื่อนที่แบบวงกลมไม่สม่ำเสมอ

ความเร็วและความเร่งสำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอ: เวกเตอร์ความเร็วเป็นสัมผัสกับวงโคจร แต่เวกเตอร์ความเร่งไม่ได้เข้าด้านในในแนวรัศมีเนื่องจากส่วนประกอบสัมผัสของมัน เป็นθที่เพิ่มอัตราการหมุน: d ω / dt = | กθ | / R

ในฐานะที่เป็นลักษณะทั่วไปของกรณีการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอสมมติว่าอัตราการหมุนเชิงมุมไม่คงที่ ตอนนี้ความเร่งมีองค์ประกอบสัมผัสดังที่แสดงในภาพด้านขวา กรณีนี้จะใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงกลยุทธ์ที่มาอยู่บนพื้นฐานของระบบพิกัดเชิงขั้ว

ให้r ( t ) เป็นเวกเตอร์ที่อธิบายตำแหน่งของมวลจุดเป็นฟังก์ชันของเวลา เนื่องจากเราสมมติว่าการเคลื่อนที่เป็นวงกลมให้r ( t ) = R · u rโดยที่Rเป็นค่าคงที่ (รัศมีของวงกลม) และu rคือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากจุดกำเนิดไปยังมวลจุด ทิศทางของu rอธิบายโดยθมุมระหว่างแกน x และเวกเตอร์หน่วยวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x เวกเตอร์หน่วยงานอื่นพิกัดขั้วโลกยูθจะตั้งฉากกับU rและจุดในทิศทางของการเพิ่มθ เวกเตอร์หน่วยขั้วเหล่านี้สามารถแสดงในรูปของเวกเตอร์หน่วยคาร์ทีเซียนในทิศทางxและyแสดงว่าiและjตามลำดับ: [17]

คุณr = cos θ i + sin θ j

และ

คุณθ = -sin θ i + cos θ j .

เราสามารถแยกความแตกต่างเพื่อค้นหาความเร็ว:

v=รงยูรงt=รงงt(คos θ ผม+sผมn θ ญ){\ displaystyle \ mathbf {v} = r {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}}} {\ mathrm {d} t}} = r {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (\ mathrm {cos} \ theta \ \ mathbf {i} + \ mathrm {sin} \ \ theta \ Mathbf {j} \ right)} $\mathbf{v} = r \frac {\mathrm{d} \mathbf{u}_\mathrm{r}}{\mathrm{d}t} = r \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathrm{cos}\ \theta \ \mathbf{i} + \mathrm{sin}\ \theta \ \mathbf{j}\right)$ =รงθงt(-sผมn θ ผม+คos θ ญ){\ displaystyle = r {\ frac {d \ theta} {dt}} \ left (- \ mathrm {sin} \ theta \ \ mathbf {i} + \ mathrm {cos} \ theta \ \ mathbf {j} \ขวา)\,} $= r \frac {d \theta} {dt} \left( -\mathrm{sin}\ \theta \ \mathbf{i} + \mathrm{cos}\ \theta \ \mathbf{j}\right)\,$ =รงθงtยูθ{\ displaystyle = r {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} \,} $= r \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{\theta} \,$ =ωรยูθ{\ displaystyle = \ omega r \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} \,} $= \omega r \mathbf{u}_\mathrm{\theta} \,$

ที่ωเป็นเชิงมุมความเร็ว d θ d / T

ผลที่ได้นี้ความเร็วตรงกับความคาดหวังว่าความเร็วควรถูกนำไปสัมผัสวงกลมและที่สำคัญของความเร็วที่ควรจะrω สร้างความแตกต่างอีกครั้งและสังเกตว่า

งยูθงt=-งθงtยูร=-ωยูร ,{\ displaystyle {{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ theta } {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} = - \ omega \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}}} \,} ${\frac {\mathrm{d}\mathbf{u}_\mathrm{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{r} = - \omega \mathbf{u}_\mathrm{r}} \ ,$

เราพบว่าความเร่งaคือ:

ก=ร(งωงtยูθ-ω2ยูร) .{\ displaystyle \ mathbf {a} = r \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} - \ โอเมก้า ^ {2} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} \ right) \.} $\mathbf{a} = r \left( \frac {\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{\theta} - \omega^2 \mathbf{u}_\mathrm{r} \right) \ .$

ดังนั้นส่วนประกอบในแนวรัศมีและเส้นสัมผัสของความเร่งคือ:

กร=-ω2ร ยูร=-|v|2ร ยูร {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {r}} = - \ omega ^ {2} r \ \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} = - {\ frac {| \ mathbf {v } | ^ {2}} {r}} \ \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} \} $\mathbf{a}_{\mathrm{r}} = - \omega^{2} r \ \mathbf{u}_\mathrm{r} = - \frac{|\mathbf{v}|^{2}}{r} \ \mathbf{u}_\mathrm{r} \$ และ กθ=ร งωงt ยูθ=ง|v|งt ยูθ ,{\ displaystyle \ \ mathbf {a} _ {\ mathrm {\ theta}} = r \ {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t}} \ \ mathbf {u} _ { \ mathrm {\ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} | \ mathbf {v} |} {\ mathrm {d} t}} \ \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} \ ,} $\ \mathbf{a}_{\mathrm{\theta}} = r \ \frac {\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \ \mathbf{u}_\mathrm{\theta} = \frac {\mathrm{d} | \mathbf{v} | }{\mathrm{d}t} \ \mathbf{u}_\mathrm{\theta} \ ,$

ที่ไหน | v | = r ωคือขนาดของความเร็ว (ความเร็ว)

สมการเหล่านี้แสดงในทางคณิตศาสตร์ว่าในกรณีของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางวงกลมด้วยความเร็วที่เปลี่ยนแปลงความเร่งของร่างกายอาจถูกย่อยสลายเป็นส่วนประกอบที่ตั้งฉากซึ่งเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ (ความเร่งศูนย์กลาง) และขนานกัน หรือส่วนประกอบสัมผัสที่เปลี่ยนความเร็ว

การเคลื่อนที่แบบระนาบทั่วไป

เวกเตอร์ความเร็ว vแทนเจนต์กับเส้นทางการเคลื่อนที่เสมอ

เวกเตอร์ความเร่ง aไม่ขนานกับการเคลื่อนที่ในแนวรัศมี แต่ชดเชยด้วยความเร่งเชิงมุมและโคริโอลิสหรือแทนเจนต์กับเส้นทาง แต่หักล้างด้วยความเร่งศูนย์กลางและรัศมี

เวกเตอร์จลนศาสตร์ในพิกัดเชิงขั้วของระนาบ สังเกตว่าการตั้งค่าไม่ได้ จำกัด ไว้ที่พื้นที่ 2 มิติ แต่เป็นระนาบในมิติที่สูงกว่า

เวกเตอร์หน่วยขั้วที่สอง คูณ tและ t + dtสำหรับอนุภาคที่มีวิถี r ( t ); ทางด้านซ้ายเวกเตอร์หน่วย u ρและ u θทั้งสองครั้งจะถูกย้ายเพื่อให้หางของพวกมันทั้งหมดมาบรรจบกันและแสดงให้เห็นว่าติดตามส่วนโค้งของวงกลมรัศมีหน่วย การหมุนตามเวลา dtคือ d θเพียงมุมเดียวกับการหมุนของวิถี r ( t )

พิกัดเชิงขั้ว

ผลลัพธ์ข้างต้นอาจได้มาจากพิกัดเชิงขั้วและในขณะเดียวกันก็ขยายไปสู่การเคลื่อนที่ทั่วไปภายในระนาบดังที่แสดงต่อไป พิกัดเชิงขั้วในระนาบใช้เวกเตอร์หน่วยรัศมีu ρและเวกเตอร์หน่วยเชิงมุมu θดังที่แสดงไว้ด้านบน [18]อนุภาคที่ตำแหน่งrอธิบายโดย:

ร=ρยูρ ,{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ rho \ mathbf {u} _ {\ rho} \,} $\mathbf{r} = \rho \mathbf{u}_{\rho} \ ,$

โดยที่สัญกรณ์ρใช้เพื่ออธิบายระยะทางของเส้นทางจากจุดกำเนิดแทนที่จะเป็นRเพื่อเน้นว่าระยะทางนี้ไม่ได้รับการแก้ไข แต่จะแปรผันตามเวลา เวกเตอร์หน่วยu ρเคลื่อนที่ไปพร้อมกับอนุภาคและชี้ไปในทิศทางเดียวกับr ( t ) เสมอ เวกเตอร์หน่วยยูθยังเดินทางไปกับอนุภาคและการเข้าพักฉากกับยู ρ ดังนั้นu ρและu θจึงสร้างระบบพิกัดคาร์ทีเซียนท้องถิ่นที่ติดกับอนุภาคและเชื่อมโยงกับเส้นทางที่อนุภาคนั้นเดินทาง [19]โดยการย้ายเวกเตอร์หน่วยเพื่อให้หางของมันตรงกันดังที่เห็นในวงกลมทางด้านซ้ายของภาพด้านบนจะเห็นว่าu ρและu θเป็นคู่ที่ทำมุมฉากโดยมีเคล็ดลับบนวงกลมหน่วยที่ย้อนกลับ และออกมาบนเส้นรอบวงของวงกลมนี้ด้วยมุมเดียวกันθ ( t ) กับr ( t )

เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ความเร็วของมันคือ

v=งρงtยูρ+ρงยูρงt .{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + \ rho {\ frac {\ mathrm { d} \ mathbf {u} _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} \.} $\mathbf{v} = \frac {\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\rho} + \rho \frac {\mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t} \ .$

เพื่อประเมินความเร็วอนุพันธ์ของหน่วยเวกเตอร์ยูρเป็นสิ่งจำเป็น เนื่องจากu ρเป็นเวกเตอร์หน่วยขนาดของมันจึงคงที่และสามารถเปลี่ยนทิศทางได้เท่านั้นนั่นคือการเปลี่ยนแปลง d u ρมีส่วนประกอบที่ตั้งฉากกับu ρเท่านั้น เมื่อวิถีr ( t ) หมุนจำนวน d θ , u ρซึ่งชี้ไปในทิศทางเดียวกับr ( t ) ก็จะหมุนด้วย d θเช่นกัน ดูภาพด้านบน ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของu ρคือ

งยูρ=ยูθงθ ,{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ rho} = \ mathbf {u} _ {\ theta} \ mathrm {d} \ theta \,} $\mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho} = \mathbf{u}_{\theta} \mathrm{d}\theta \ ,$

หรือ

งยูρงt=ยูθงθงt .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm { d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \.} $\frac {\mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \ .$

ในทำนองเดียวกันอัตราการเปลี่ยนแปลงของu θพบ เช่นเดียวกับยูρ , ยูθเป็นเวกเตอร์หน่วยและสามารถหมุนได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนขนาด เพื่อให้ยังคงเป็นมุมฉากกับu ρในขณะที่วิถีr ( t ) หมุนจำนวน d θ , u θซึ่งตั้งฉากกับr ( t ) ก็หมุนด้วย d θเช่นกัน ดูภาพด้านบน ดังนั้นการเปลี่ยนแปลง d u θจึงตั้งฉากกับu θและเป็นสัดส่วนกับ d θ (ดูภาพด้านบน):

งยูθงt=-งθงtยูρ .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ theta}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm { d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} \.} $\frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\rho} \ .$

ภาพด้านบนแสดงเครื่องหมายเป็นลบ: เพื่อรักษาความเป็นมุมฉากถ้า d u ρเป็นบวกกับ d θแล้ว d u θจะต้องลดลง

การแทนที่อนุพันธ์ของu ρในนิพจน์สำหรับความเร็ว:

v=งρงtยูρ+ρยูθงθงt=vρยูρ+vθยูθ=vρ+vθ .{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + \ rho \ mathbf {u} _ { \ theta} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = v _ {\ rho} \ mathbf {u} _ {\ rho} + v _ {\ theta} \ mathbf {u } _ {\ theta} = \ mathbf {v} _ {\ rho} + \ mathbf {v} _ {\ theta} \.} $\mathbf{v} = \frac {\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\rho} + \rho \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} = v_{\rho} \mathbf{u}_{\rho} + v_{\theta} \mathbf{u}_{\theta} = \mathbf{v}_{\rho} + \mathbf{v}_{\theta} \ .$

เพื่อให้ได้ความเร่งจะมีการสร้างความแตกต่างอีกครั้ง:

ก=ง2ρงt2ยูρ+งρงtงยูρงt+งρงtยูθงθงt+ρงยูθงtงθงt+ρยูθง2θงt2 .{\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ rho} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + { \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t }} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ theta}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm { d} t}} + \ rho \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \.} $\mathbf{a} = \frac {\mathrm{d}^2 \rho }{\mathrm{d}t^2} \mathbf{u}_{\rho} + \frac {\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t} + \frac {\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} + \rho \frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\theta}}{\mathrm{d}t} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} + \rho \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2} \ .$

การแทนที่อนุพันธ์ของu ρและu θความเร่งของอนุภาคคือ: [20]

ก=ง2ρงt2ยูρ+2งρงtยูθงθงt-ρยูρ(งθงt)2+ρยูθง2θงt2 ,{\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ rho} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {\ rho} +2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t }} - \ rho \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ rho \ Mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \,} $\mathbf{a} = \frac {\mathrm{d}^2 \rho }{\mathrm{d}t^2} \mathbf{u}_{\rho} + 2\frac {\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t}-\rho \mathbf{u}_{\rho}\left( \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t}\right)^2 + \rho \mathbf{u}_{\theta} \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2} \ ,$ =ยูρ[ง2ρงt2-ρ(งθงt)2]+ยูθ[2งρงtงθงt+ρง2θงt2] {\ displaystyle = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ rho} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ rho \ ซ้าย ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm { ง} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right] \} $= \mathbf{u}_{\rho} \left[ \frac {\mathrm{d}^2 \rho }{\mathrm{d}t^2}-\rho\left( \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t}\right)^2 \right] + \mathbf{u}_{\theta}\left[ 2\frac {\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d}t} \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t} + \rho \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2}\right] \$ =ยูρ[งvρงt-vθ2ρ]+ยูθ[2ρvρvθ+ρงงtvθρ] .{\ displaystyle = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} v _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {v _ {\ theta } ^ {2}} {\ rho}} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [{\ frac {2} {\ rho}} v _ {\ rho} v _ {\ theta} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {v _ {\ theta}} {\ rho}} \ right] \.} $= \mathbf{u}_{\rho} \left[ \frac {\mathrm{d}v_{\rho}}{\mathrm{d}t}-\frac{v_{\theta}^2}{\rho}\right] + \mathbf{u}_{\theta}\left[ \frac{2}{\rho}v_{\rho} v_{\theta} + \rho\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{v_{\theta}}{\rho}\right] \ .$

ตัวอย่างเช่นถ้าอนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีรัศมีคงที่Rดังนั้น d ρ / d t = 0, v = v θและ:

ก=ยูρ[-ρ(งθงt)2]+ยูθ[ρง2θงt2] {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [- \ rho \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ ขวา) ^ {2} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [\ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ { 2}}} \ right] \} $\mathbf{a} = \mathbf{u}_{\rho} \left[ -\rho\left( \frac {\mathrm{d} \theta} {\mathrm{d}t}\right)^2 \right] + \mathbf{u}_{\theta}\left[ \rho \frac {\mathrm{d}^2 \theta} {\mathrm{d}t^2}\right] \$ =ยูρ[-v2ร]+ยูθ[งvงt] {\ displaystyle = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [- {\ frac {v ^ {2}} {r}} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [{ \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ right] \} $=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\$

ที่ไหน v=vθ.{\ displaystyle v = v _ {\ theta}.} $v = v_{\theta}.$

ผลลัพธ์เหล่านี้เห็นด้วยกับผลลัพธ์ข้างต้นสำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมแบบไม่สม่ำเสมอ ดูเพิ่มเติมบทความเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบวงกลมไม่สม่ำเสมอ หากเร่งนี้จะคูณด้วยมวลของอนุภาคในระยะที่เป็นผู้นำแรงสู่ศูนย์กลางและลบของระยะที่สองเกี่ยวข้องกับการเร่งความเร็วเชิงมุมบางครั้งเรียกว่าแรงออยเลอร์ [21]

สำหรับวิถีอื่นที่ไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบวงกลมตัวอย่างเช่นวิถีการเคลื่อนที่ทั่วไปในภาพด้านบนจุดศูนย์กลางของการหมุนทันทีและรัศมีความโค้งของวิถีมีความสัมพันธ์ทางอ้อมกับระบบพิกัดที่กำหนดโดยu ρและu θและกับ ความยาว | r ( t ) | = ρ . ดังนั้นในกรณีทั่วไปจึงไม่ตรงไปตรงมาที่จะแยกคำศัพท์ของศูนย์และออยเลอร์ออกจากสมการความเร่งทั่วไปข้างต้น [22] [23]เพื่อจัดการกับปัญหานี้โดยตรงควรใช้พิกัดท้องถิ่นตามที่จะกล่าวต่อไป

พิกัดท้องถิ่น

ระบบพิกัดท้องถิ่นสำหรับการเคลื่อนที่แบบระนาบบนเส้นโค้ง ตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่งจะแสดงสำหรับระยะทาง sและ s + dตามแนวโค้ง ในแต่ละตำแหน่ง sเวกเตอร์หน่วย u nชี้ไปทางด้านนอกปกติถึงเส้นโค้งและเวกเตอร์หน่วย u tเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นทาง รัศมีของความโค้งของเส้นทางเป็นρที่พบจากอัตราการหมุนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่เกี่ยวกับความยาวส่วนโค้งและเป็นรัศมีของ วงกลม osculatingที่ตำแหน่ง s วงกลมหน่วยในการแสดงซ้ายหมุนของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มี s

พิกัดท้องถิ่นหมายถึงชุดพิกัดที่เดินทางไปพร้อมกับอนุภาค[24]และมีการวางแนวที่กำหนดโดยเส้นทางของอนุภาค [25]เวกเตอร์หน่วยถูกสร้างขึ้นตามที่แสดงในภาพทางด้านขวาทั้งสัมผัสและแบบปกติไปยังเส้นทาง ระบบพิกัดนี้บางครั้งเรียกว่าพิกัดภายในหรือพา ธ[26] [27]หรือพิกัด ntสำหรับเส้นสัมผัสปกติหมายถึงเวกเตอร์หน่วยเหล่านี้ พิกัดเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่พิเศษมากของแนวคิดทั่วไปของพิกัดท้องถิ่นจากทฤษฎีรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล [28]

ระยะทางตามเส้นทางของอนุภาคคือความยาวส่วนโค้งsซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันที่ทราบกันดีของเวลา

s=s(t) .{\ displaystyle s = s (t) \.} $s = s(t) \ .$

จุดศูนย์กลางของความโค้งถูกกำหนดไว้ในแต่ละตำแหน่งsซึ่งอยู่ห่างออกไปρ ( รัศมีความโค้ง ) จากเส้นโค้งบนเส้นตามแนวu n ( s ) ปกติ ระยะทางที่ต้องการρ ( s ) ที่ความยาวส่วนโค้งsถูกกำหนดในรูปของอัตราการหมุนของสัมผัสกับเส้นโค้งซึ่งจะถูกกำหนดโดยเส้นทางนั้นเอง หากการวางแนวของแทนเจนต์เทียบกับตำแหน่งเริ่มต้นบางตำแหน่งคือθ ( s ) ดังนั้นρ ( s ) จะถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ d θ / d s :

1ρ(s)=κ(s)=งθงs .{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho (s)}} = \ kappa (s) = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} \.} $\frac{1} {\rho (s)} = \kappa (s) = \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\ .$

โดยปกติแล้วรัศมีของความโค้งจะถือเป็นค่าบวก (นั่นคือค่าสัมบูรณ์) ในขณะที่ความโค้ง κเป็นปริมาณที่มีการลงนาม

วิธีการหาทางเรขาคณิตศูนย์กลางของความโค้งและรัศมีของความโค้งที่ใช้กระบวนการ จำกัด ที่นำไปสู่วงกลม osculating [29] [30]ดูภาพด้านบน

ใช้พิกัดเหล่านี้เคลื่อนไหวตามเส้นทางถูกมองว่าเป็นสืบทอดของเส้นทางวงกลมที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาศูนย์และในแต่ละตำแหน่งsถือว่าเป็นวงกลมไม่สม่ำเสมอในตำแหน่งที่มีรัศมีρ ค่าท้องถิ่นของอัตราการหมุนเชิงมุมจะได้รับจาก:

ω(s)=งθงt=งθงsงsงt=1ρ(s) งsงt=v(s)ρ(s) ,{\ displaystyle \ omega (s) = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s }} {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {\ rho (s)}} \ {\ frac {\ mathrm {d} s} { \ mathrm {d} t}} = {\ frac {v (s)} {\ rho (s)}} \,} $\omega(s) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\rho(s)}\ \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{v(s)}{\rho(s)}\ ,$

ด้วยความเร็วท้องถิ่นvกำหนดโดย:

v(s)=งsงt .{\ displaystyle v (s) = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \.} $v(s) = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\ .$

สำหรับตัวอย่างอื่น ๆ ข้างต้นเนื่องจากเวกเตอร์หน่วยไม่สามารถเปลี่ยนขนาดได้อัตราการเปลี่ยนแปลงจะตั้งฉากกับทิศทางของมันเสมอ (ดูแทรกด้านซ้ายในภาพด้านบน): [31]

งยูn(s)งs=ยูt(s)งθงs=ยูt(s)1ρ ;{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s)} {ds}} = \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) {\ frac { d \ theta} {ds}} = \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) {\ frac {1} {\ rho}} \;} $\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{d\theta}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{1}{\rho} \ ;$ งยูt(s)งs=-ยูn(s)งθงs=-ยูn(s)1ρ .{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s)} {\ mathrm {d} s}} = - \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} ( s) {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} = - \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) {\ frac {1} {\ rho }} \.} $\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)}{\mathrm{d}s} = -\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = - \mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{1}{\rho} \ .$

ดังนั้นความเร็วและความเร่งคือ: [30] [32] [33]

v(t)=vยูt(s) ;{\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = v \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) \;} $\mathbf{v}(t) = v \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\ ;$

และใช้กฎลูกโซ่ของความแตกต่าง :

ก(t)=งvงtยูt(s)-v2ρยูn(s) ;{\ displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) - { \ frac {v ^ {2}} {\ rho}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) \;} $\mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \frac{v^2}{\rho}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ;$ ด้วยการเร่งความเร็วแบบสัมผัส งvงt=งvงs งsงt=งvงs v .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {\ mathrm {d}} v} {\ mathrm {\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} s }} \ {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} s}} \ v \.} $\frac{\mathrm{\mathrm{d}}v}{\mathrm{\mathrm{d}}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ v \ .$

ในระบบพิกัดโลคัลนี้ความเร่งจะคล้ายกับนิพจน์สำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอโดยมีรัศมีท้องถิ่นρ ( s ) และความเร่งศูนย์กลางถูกระบุว่าเป็นระยะที่สอง [34]

ขยายวิธีการนี้ถึงสามเส้นโค้งมิตินำไปสู่สูตร Frenet-Serret [35] [36]

แนวทางทางเลือก

มองไปที่ภาพข้างต้นอาจสงสัยว่าหนึ่งว่าบัญชีที่เพียงพอที่ได้รับจากความแตกต่างในความโค้งระหว่างρ ( s ) และρ ( s + d s ) ในการคำนวณความยาวส่วนโค้งเป็น d s = ρ ( s ) d θ ความมั่นใจในประเด็นนี้สามารถพบได้โดยใช้วิธีการที่เป็นทางการมากขึ้นที่ระบุไว้ด้านล่าง วิธีนี้ยังทำให้การเชื่อมต่อกับบทความเกี่ยวกับความโค้ง

ในการแนะนำเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดโลคัลวิธีการหนึ่งคือการเริ่มต้นในพิกัดคาร์ทีเซียนและอธิบายพิกัดท้องถิ่นในรูปของพิกัดคาร์ทีเซียนเหล่านี้ ในแง่ของความยาวส่วนโค้งsให้อธิบายเส้นทางเป็น: [37]

ร(s)=[x(s), ย(s)] .{\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = \ left [x (s), \ y (s) \ right] \.} $\mathbf{r}(s) = \left[ x(s),\ y(s) \right] \ .$

จากนั้นการกระจัดที่เพิ่มขึ้นตามเส้นทาง d sอธิบายโดย:

งร(s)=[งx(s), งย(s)]=[x′(s), ย′(s)]งs ,{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} (s) = \ left [\ mathrm {d} x (s), \ \ mathrm {d} y (s) \ right] = \ left [x '( s), \ y (s) \ right] \ mathrm {d} s \,} $\mathrm{d}\mathbf{r}(s) = \left[ \mathrm{d}x(s),\ \mathrm{d}y(s) \right] = \left[ x'(s),\ y'(s) \right] \mathrm{d}s \ ,$

ที่ช่วงเวลาที่จะนำไปแสดงว่าสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่เกี่ยวกับs ขนาดของการกระจัดนี้คือ d sแสดงว่า: [38]

[x′(s)2+ย′(s)2]=1 .{\ displaystyle \ left [x '(s) ^ {2} + y' (s) ^ {2} \ right] = 1 \.} $\left[ x'(s)^2 + y'(s)^2 \right] = 1 \ .$ (ข้อ 1)

การกระจัดนี้จำเป็นต้องเป็นแทนเจนต์ของเส้นโค้งที่sแสดงว่าเวกเตอร์หน่วยแทนเจนต์กับเส้นโค้งคือ:

ยูt(s)=[x′(s), ย′(s)] ,{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) = \ left [x '(s), \ y' (s) \ right] \,} $\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) = \left[ x'(s), \ y'(s) \right] \ ,$

ในขณะที่เวกเตอร์หน่วยภายนอกปกติถึงเส้นโค้งคือ

ยูn(s)=[ย′(s), -x′(s)] ,{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) = \ left [y '(s), \ -x' (s) \ right] \,} $\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) = \left[ y'(s),\ -x'(s) \right] \ ,$

Orthogonalityสามารถตรวจสอบได้โดยแสดงว่าผลิตภัณฑ์จุดเวกเตอร์เป็นศูนย์ ขนาดหน่วยของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นผลมาจากEq 1 . เมื่อใช้เวกเตอร์แทนเจนต์มุมθของแทนเจนต์กับเส้นโค้งจะถูกกำหนดโดย:

บาป⁡θ=ย′(s)x′(s)2+ย′(s)2=ย′(s) ;{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {y '(s)} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}} = y' (s) \;} $\sin \theta = \frac{y'(s)}{\sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2}} = y'(s) \ ;$ และ cos⁡θ=x′(s)x′(s)2+ย′(s)2=x′(s) .{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {x '(s)} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}} = x' (s) \.} $\cos \theta = \frac{x'(s)}{\sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2}} = x'(s) \ .$

รัศมีของความโค้งถูกนำมาใช้อย่างเป็นทางการ (โดยไม่จำเป็นต้องตีความทางเรขาคณิต) ดังนี้:

1ρ=งθงs .{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} \.} $\frac{1}{\rho} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\ .$

อนุพันธ์ของθสามารถพบได้จากค่าความบาปθ :

งบาป⁡θงs=cos⁡θงθงs=1ρcos⁡θ =1ρx′(s) .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta} {\ mathrm {d} s}} = \ cos \ theta {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s }} = {\ frac {1} {\ rho}} \ cos \ theta \ = {\ frac {1} {\ rho}} x '(s) \.} $\frac{\mathrm{d} \sin\theta}{\mathrm{d}s} = \cos \theta \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\rho} \cos \theta \ = \frac{1}{\rho} x'(s)\ .$

ตอนนี้:

งบาป⁡θงs=งงsย′(s)x′(s)2+ย′(s)2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} {\ frac { y '(s)} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}}} $\frac{\mathrm{d} \sin \theta }{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \frac{y'(s)}{\sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2}}$ =ย″(s)x′(s)2-ย′(s)x′(s)x″(s)(x′(s)2+ย′(s)2)3/2 ,{\ displaystyle = {\ frac {y '' (s) x '(s) ^ {2} -y' (s) x '(s) x' '(s)} {\ left (x' (s) ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} \,} $= \frac{y''(s)x'(s)^2-y'(s)x'(s)x''(s)} {\left(x'(s)^2 + y'(s)^2\right)^{3/2}}\ ,$

ซึ่งตัวส่วนคือเอกภาพ ด้วยสูตรนี้สำหรับอนุพันธ์ของไซน์รัศมีความโค้งจะกลายเป็น:

งθงs=1ρ=ย″(s)x′(s)-ย′(s)x″(s) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {1} {\ rho}} = y '' (s) x '(s) -y '(s) x' '(s) \} $\frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\rho} = y''(s)x'(s) - y'(s)x''(s)\$ =ย″(s)x′(s)=-x″(s)ย′(s) ,{\ displaystyle = {\ frac {y '' (s)} {x '(s)}} = - {\ frac {x' '(s)} {y' (s)}} \,} $= \frac{y''(s)}{x'(s)} = -\frac{x''(s)}{y'(s)} \ ,$

โดยที่ความเท่าเทียมกันของรูปแบบเกิดจากความแตกต่างของEq 1 :

x′(s)x″(s)+ย′(s)ย″(s)=0 .{\ displaystyle x '(s) x' '(s) + y' (s) y '' (s) = 0 \.} $x'(s)x''(s) + y'(s)y''(s) = 0 \ .$

ด้วยผลลัพธ์เหล่านี้สามารถพบความเร่ง:

ก(s)=งงtv(s){\ displaystyle \ mathbf {a} (s) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {v} (s)} $\mathbf{a}(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{v}(s)$ =งงt[งsงt(x′(s), ย′(s))] {\ displaystyle = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ left (x '(s), \ y' (s) \ right) \ right] \} $= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \left( x'(s), \ y'(s) \right) \right]\$ =(ง2sงt2)ยูt(s)+(งsงt)2(x″(s), ย″(s)){\ displaystyle = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} s} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t} } (s) + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} \ left (x '' (s), \ y '' ( s) \ right)} $= \left(\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\right)\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) + \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) ^2 \left(x''(s),\ y''(s) \right)$ =(ง2sงt2)ยูt(s)-(งsงt)21ρยูn(s) ,{\ displaystyle = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} s} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t} } (s) - \ left ({\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {u } _ {\ mathrm {n}} (s) \,} $= \left(\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\right)\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) ^2 \frac{1}{\rho} \mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ,$

ที่สามารถตรวจสอบได้โดยนำผลิตภัณฑ์ดอทที่มีเวกเตอร์หน่วยu t ( s ) และu n ( s ) ผลที่ได้นี้สำหรับการเร่งความเร็วเป็นเช่นเดียวกับที่วงกลมขึ้นอยู่กับรัศมีρ การใช้ระบบพิกัดนี้ในกรอบเฉื่อยทำให้ง่ายต่อการระบุแรงปกติของวิถีว่าเป็นแรงสู่ศูนย์กลางและขนานกับวิถีเป็นแรงสัมผัส จากมุมมองเชิงคุณภาพเส้นทางสามารถประมาณได้โดยส่วนโค้งของวงกลมในช่วงเวลาที่ จำกัด และในช่วงเวลาที่ จำกัด จะมีการใช้รัศมีความโค้งโดยเฉพาะแรงเหวี่ยงและออยเลอร์สามารถวิเคราะห์บนพื้นฐานของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยรัศมีนั้น .

ผลลัพธ์สำหรับการเร่งความเร็วนี้สอดคล้องกับที่พบก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตามในแนวทางนี้คำถามของการเปลี่ยนแปลงในรัศมีของความโค้งกับที่sจะถูกจัดการอย่างสมบูรณ์อย่างเป็นทางการให้สอดคล้องกับการตีความทางเรขาคณิต แต่ไม่ได้อาศัยมันจึงหลีกเลี่ยงคำถามใด ๆ ภาพด้านบนอาจแนะนำเกี่ยวกับการละเลยการเปลี่ยนแปลงในρ

ตัวอย่าง: การเคลื่อนที่แบบวงกลม

เพื่อแสดงสูตรข้างต้นให้x , yกำหนดเป็น:

x=αcos⁡sα ; ย=αบาป⁡sα .{\ displaystyle x = \ alpha \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \; \ y = \ alpha \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \.} $x = \alpha \cos \frac{s}{\alpha} \ ; \ y = \alpha \sin\frac{s}{\alpha} \ .$

จากนั้น:

x2+ย2=α2 ,{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = \ alpha ^ {2} \,} $x^2 + y^2 = \alpha^2 \ ,$

ซึ่งได้รับการยอมรับเป็นเส้นทางวงกลมรอบจุดเริ่มต้นที่มีรัศมีα ตำแหน่งs = 0 สอดคล้องกับ [ α , 0] หรือ 3 นาฬิกา ในการใช้พิธีการข้างต้นจำเป็นต้องมีอนุพันธ์:

ย′(s)=cos⁡sα ; x′(s)=-บาป⁡sα ,{\ displaystyle y ^ {\ prime} (s) = \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \; \ x ^ {\ prime} (s) = - \ sin {\ frac {s} {\ อัลฟา}} \,} $y^{\prime}(s) = \cos \frac{s}{\alpha} \ ; \ x^{\prime}(s) = -\sin \frac{s}{\alpha} \ ,$ ย′′(s)=-1αบาป⁡sα ; x′′(s)=-1αcos⁡sα .{\ displaystyle y ^ {\ prime \ prime} (s) = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \; \ x ^ {\ prime \ prime } (s) = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \.} $y^{\prime\prime}(s) = -\frac{1}{\alpha}\sin\frac{s}{\alpha} \ ; \ x^{\prime\prime}(s) = -\frac{1}{\alpha}\cos \frac{s}{\alpha} \ .$

ด้วยผลลัพธ์เหล่านี้เราสามารถตรวจสอบได้ว่า:

x′(s)2+ย′(s)2=1 ; 1ρ=ย′′(s)x′(s)-ย′(s)x′′(s)=1α .{\ displaystyle x ^ {\ prime} (s) ^ {2} + y ^ {\ prime} (s) ^ {2} = 1 \; \ {\ frac {1} {\ rho}} = y ^ { \ prime \ prime} (s) x ^ {\ prime} (s) -y ^ {\ prime} (s) x ^ {\ prime \ prime} (s) = {\ frac {1} {\ alpha}} \.} $x^{\prime}(s)^2 + y^{\prime}(s)^2 = 1 \ ; \ \frac{1}{\rho} = y^{\prime\prime}(s)x^{\prime}(s)-y^{\prime}(s)x^{\prime\prime}(s) = \frac{1}{\alpha} \ .$

นอกจากนี้ยังสามารถพบเวกเตอร์หน่วย:

ยูt(s)=[-บาป⁡sα , cos⁡sα] ; ยูn(s)=[cos⁡sα , บาป⁡sα] ,{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) = \ left [- \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] \; \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) = \ left [\ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] \,} $\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) = \left[-\sin\frac{s}{\alpha} \ , \ \cos\frac{s}{\alpha} \right] \ ; \ \mathbf{u}_\mathrm{n}(s) = \left[\cos\frac{s}{\alpha} \ , \ \sin\frac{s}{\alpha} \right] \ ,$

ซึ่งทำหน้าที่ในการแสดงให้เห็นว่าs = 0 ตั้งอยู่ที่ตำแหน่ง [ ρ , 0] และs = ρเธ / 2 [0, ρ ] ซึ่งเห็นด้วยกับการแสดงออกที่เป็นต้นฉบับสำหรับxและy ที่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือsจะวัดทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมตั้งแต่ 3 นาฬิกา นอกจากนี้อนุพันธ์ของเวกเตอร์เหล่านี้สามารถพบได้:

งงsยูt(s)=-1α[cos⁡sα , บาป⁡sα]=-1αยูn(s) ;{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) = - {\ frac {1} {\ alpha} } \ left [\ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) \;} $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) = -\frac{1}{\alpha} \left[\cos\frac{s}{\alpha} \ , \ \sin\frac{s}{\alpha} \right] = -\frac{1}{\alpha}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ;$ งงsยูn(s)=1α[-บาป⁡sα , cos⁡sα]=1αยูt(s) .{\ displaystyle \ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) = {\ frac {1} {\ alpha} } \ left [- \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] = {\ frac {1} {\ alpha}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) \.} $\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) = \frac{1}{\alpha} \left[-\sin\frac{s}{\alpha} \ , \ \cos\frac{s}{\alpha} \right] = \frac{1}{\alpha}\mathbf{u}_\mathrm{t}(s) \ .$

ที่จะได้รับความเร็วและความเร่งเป็นเวลาพึ่งพาสำหรับsเป็นสิ่งที่จำเป็น สำหรับการเคลื่อนที่แบบทวนเข็มนาฬิกาที่ความเร็วตัวแปรv ( t ):

สมการในการหาค่าแรงสู่ศูนย์กลางคืออะไร

) ดังรูป 1. จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่2 ของนิวตัน วัตถุจะเปลี่ยนไปจากสภาพเดิม เมื่อมีแรงที่ไม่เท่ากับศูนย์ มากระท า แสดงว่าแรงลัพธ์ที่มากระท าต่อวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบวงกลม จะต้องเป็นแรงสู่ ศูนย์กลาง ดังนั้นสมการของแรงสู่ศูนย์กลางจะได้ดังนี้ จาก ΣF  = ma

S UT คือสูตรอะไร

S = ut. ระยะที่เคลื่อนที่ได้ตามแนวแกน x. เวลาทั้งหมดในการเคลื่อนที่ ความเร็วของวัตถุที่ตำแหน่งใด ๆ

แรงสู่ศูนย์กลางมีหน่วยเป็นอะไร *

r = รัศมี หน่วยเป็น เมตร F = แรงสู่ศูนย์กลาง หน่วยเป็น นิวตัน (N)

แรงศูนย์กลางคืออะไร

การเคลื่อนที่แบบวงกลม เกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วในทิศทางหนึ่งๆ แต่ขณะเดียวกันก็มีแรงดึงวัตถุ โดยทิศทางของแรงที่ดึงนั้นตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุตลอดเวลา จะทำให้เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุเปลี่ยนเป็นวงกลม โดยเราจะเรียกแรงที่คอยดึงอยู่นั้นว่า "แรงสู่ศูนย์กลาง (Fc)"