การ หา ค า ม ม ระหว าง เวก เตอร

หน่วยท่ี 1

ปรมิ าณเวกเตอร์

1.1 ความหมายของปริมาณเวกเตอร์ 1.2 ชนิดของเวกเตอร์ 1.3 การหาขนาดของเวกเตอร์ 1.4 การบวกเวกเตอร์ 1.5 การคูณเวกเตอร์

1.1 ความหมายของปริมาณเวกเตอร์

ปรมิ าณ (Quantities) ในวชิ าฟิสิกสอ์ าจแบ่งเปน็ กลุ่มยอ่ ยได้โดย ใชล้ ักษณะของปริมาณเป็นเกณฑ์ จะแบ่งไดเ้ ปน็ 1. ปรมิ าณสเกลลาร์ คือ ปริมาณทบ่ี อกแต่ขนาดอย่างเดียวก็สมบรูณไ์ ด้

เช่น ความยาว มวล พลังงาน เปน็ ตน้ 2. ปริมาณเวกเตอร์ คอื ปรมิ าณทีต่ ้องบอกทง้ั ขนาดและทิศทางจึงจะ

สมบรู ณ์ เช่น แรง ความเรว็ การกระจดั โมเมนตมั สนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก เป็นตน้

ในการเขยี นปรมิ าณเวกเตอร์ จะมีรูปแบบการเขยี นแตกตา่ งกนั ออกไปจาก ปรมิ าณสเกลาร์ โดยการใช้สญั ลักษณท์ ่ีมหี ัวลูกศรอยูข่ า้ งบน เชน่

การเขยี นเวกเตอร์

1.2 ชนิดของเวกเตอร์

ชนิดของเวกเตอร์นยิ มจาแนกตามมติ ใิ นระบบพกิ ดั ฉากคารท์ เี ชียน

+y +z -x -x +x -y +y -y +x -z ระนาบ x - y ระนาบ x – y – z

เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยในระบบพกิ ัดฉาก

ในระบบพกิ ัดฉาก เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยในทิศทางบวกของแกน x, y, และ z แทนดว้ ย , และ k

z

แทนเวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยในทิศ +

แทนเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทิศ + y

แทนเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยในทิศ + x

ประเภทของเวกเตอร์

เวกเตอร์ 1 มิติ คอื เวกเตอรท์ ม่ี ีทิศทางอย่บู นแกนอ้างอิงเพยี งแกนเดยี ว เชน่ คือเวกเตอร์ขนาด 3 หน่วยบนแกน x

z

y

x

เวกเตอร์ 2 มิติ

z อยบู่ นระนาบ y-z x เช่น = + y

z

อยู่บนระนาบ x-z y

เชน่ = +

x

เวกเตอร์ 3 มติ ิ

จาก A = 2i + 3j + 3k จะเขียนเวกเตอร์ A ไดด้ งั รูป

z Az A

Ax y

x Ay

1.3 การหาขนาดของเวกเตอร์

ใชส้ ัญลกั ษณ์ | | แทนคาว่า “ขนาด” ฉะนนั้ “ขนาดของเวกเตอร์ A” จะเขยี นดว้ ยสญั ลักษณ์ A

สามารถคานวณโดยการหารากท่ีสองของผลบวกกาลงั สองแตล่ ะดา้ นของเวกเตอร์ เช่น

A = 2i + 3j A = 22 + 32 \= 4+9

\= 13

\= 3.61

เชน่ จงหาขนาดของเวกเตอร์ตอ่ ไปน้ี

A = 3i B = 4i − 3k C = 2i + 3j + 3k A = 32 B = 42 + (−3)2 C = 22 + 32 + 32

\=9 = 16 + 9 = 4+9+9 \=3 = 25 = 22 \=5 = 4.69

แบบฝกึ หัดท่ี 1.1

การบวกเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก

ถา้ เวกเตอร์ถูกเขียนอยใู่ นรูปของเวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ย , , เราสามารถหาผลบวกเวกเตอร์ โดยนาค่าในแกนเดียวกนั มาบวกกนั

\= i + j + k \= i + j + k \= i + j + k

+ + = + + + + + + + +

+ + = + + 2 + + + 2 + + + 2

ตวั อย่าง

กาหนดให้ = 3i + 2j − 4k จงหา + + และ + + \= 4i − 4j + 2k \= −5i + 3j + 6k

วธิ ที า + + = 3 + 4 + −5 i + 2 + −4 + 3 j + (−4 + 2 + 6)k

\= 3 + 4 − 5 i + 2 − 4 + 3 j + (−4 + 2 + 6)k \= 2i + 1j + 4k

+ + = 22 + 12 + 42 \= 21 \= 4.58

กาหนดให้ = 6 + 3j + 2k และ = −4i − 2j + 3k

จงหา ก. 2 − 3 ข. ขนาดของ 2 − 3

วธิ ีทา

ก. 2 = 12 + 6j + 4k

3 = −12 − 6j + 9k 2 − 3 = 12 − −12 + 6 − −6 j + [4 − 9]k

\= 24 + 12j − 5k

ข. 2 − 3 = 24 2 + 12 2 + [−5]2 \= 576 + 144 + 25 \= 745 \= 27.29

EX 1. กาหนดให้ a = −6i + 4j − 3k b = 4i − 5j + 6k c = 7i + 6j − 8k จงหาขนาดของ a + b + c

a + b + c = 5i + 5j − 5k

a + b + c = 52 + 52 + (−5)2

\= 75 \= 8.66

EX 2. กาหนดให้ a = 8i + 4j − 10k b = −7i − 5j c = 6i + 8k จงหาขนาดของ a + 2b − c

a = 8i + 4j − 10k a + 2b − c = (−12)2+(−6)2+(−18)2

2b = −14i − 10j = 504 \= 22.45 −c = − 6i − 8k

a + 2b − c = −12i − 6j − 18k

แบบฝกึ หัดท่ี 1.2

การคณู เวกเตอร์

แบง่ ออกเป็น 2 แบบ คือ 1. การคณู แบบจุด (Dot-Product Vector)

จะได้ผลลพั ธ์เปน็ ปรมิ าณสเกลา่ (เปน็ ตัวเลข)

2. การคูณแบบกากบาท (Cross-Product Vector) ได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ (มที ้งั ตัวเลขและทศิ ทาง)

การคณู แบบจุด (Dot - Product)

กรณีท่ี a กบั b ทามมุ ต่อกนั สามารถคานวณไดโ้ ดยใชส้ ูตร

a ∙ b = ab cos θ

เช่น กาหนดให้ a และ b มขี นาด 20 เมตร และ 30 เมตร ทามมุ กนั 60° จงหา a ∙ b

จากสูตร a ∙ b = ab cos θ

\= (20)(30) cos 60

\= 300 เมตร

คณู แบบจุด (Dot - Product)

กรณีท่ี กบั เขียนอยู่ในรปู ของเวกเตอร์หนง่ึ หน่วย , ,

\= i + j + k = i + j + k

เนื่องจาก cos 0° = 1 และ cos 90° = 0 ดงั นนั้ จะไดว้ า่

∙ = ∙ + ∙ + ( ∙ )

กาหนดให้ = 4 − 2j + 5k เอาตวั เลขในตาแหน่งเดียวกนั \= 2 + 3j − 4k และ ∙ = 8 –6 –20 มาคูณกนั คูณ , j คูณ j , k คูณ k แลว้ เอาผลคูณที่ได้ \= –18 มาบวก ลบ กนั เป็นคาตอบ

ตวั อยา่ ง

กาหนดให้ = 2i − 3k

และ = 3j + 4k จงหา ∙

วิธีทา = 2i + 0j − 3k

\= 0i + 3j + 4k เอาตวั เลขในตาแหน่งเดียวกนั ∙ = 0 0 –12 มาคูณกนั คูณ , j คูณ j , \= –12 k คูณ k แลว้ เอาผลคูณที่ได้ มาบวก ลบ กนั เป็นคาตอบ

การคูณแบบกากบาท (Cross - Product)

ให้ผลลัพธอ์ อกมาเป็นปริมาณเวกเตอร์ กรณีท่ี กบั ทามุม  ต่อกัน สามารถคานวณได้โดยใชส้ ูตร

× = ab sin

เน่อื งจาก sin 0° = 0 และ sin 90° = 1 จะได้ทิศทางของเวกเตอร์ดังน้ี

× = 0 × = × = − × = 0 × = × = − − − × = 0 × = × = −

−

ตวั อยา่ ง

ก) 2 × 3 = (6)( ) − − \= 6

ข) −5 × −2 = (10)(− ) \= −10 − ค) − × 4 = (−4)(− ) \= 4 × = × = − × = × = − ง) −2 × 2 = (−4)( ) × = × = − \= −4

กรณีท่ี กบั เขียนอยู่ในรปู ของเวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ย , ,

\= i + j + k = i + j + k 0 −

× = i × i + i × + i × +

− 0 j × i + j × + j × +

− 0 k × i + k × + k ×

ดังน้นั จะได้วา่

× = − + − + ( − )

ตัวอยา่ ง

กาหนดให้ = 4 − 2j + 5k และ = 2i + 3j − 4k

จงหา × และ × จะได้ 0 12 −16 × = 4i × 2i + 4i × 3 + 4i × (−4) +

−4 0 8

(−2)j × 2i + (−2)j × 3 + (−2)j × (−4) +

10 −15 0

5k × 2i + 5k × 3 + 5k × (−4)

× = 8 − 15 + 10 + 16 + (12 + 4) \= −7 + 26 + 16

× = 72 + 262 + 162 = 31.32

หรือใช้วิธขี องเมตริก

\= − − − คูณทแยงข้ึนให้ \= กลบั เครื่องหมาย

ผลคูณ

ดังน้นั จะไดว้ า่

× = − + − + ( − )

ตัวอยา่ ง

กาหนดให้ = 4 − 2j + 5k และ = 2i + 3j − 4k

จงหา × และ × 4 −15 16 คูณทแยงข้ึนให้ กลบั เคร่ืองหมาย

ผลคูณ \= 4 −2 5 4 −2

\= 2 3 −4 2 3

ดังนน้ั จะได้ 8 10 12

× = 8 − 15 + 10 + 16 + (12 + 4) \= −7 + 26 + 16

× = 72 + 262 + 162 = 31.32

แบบฝกึ หัดท่ี 1.3