การแบ งวงกลมว ชาคณ ตศาสตร เร อง ตร โกณม ต ม

เมื่อเรารู้ความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก จะหาความยาวอีกด้านได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น เราจะหาอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้งหมดได้เสมอ เมื่อรู้ความยาวด้านเพียงสองด้าน

ค่าตรีโกณมิติของมุมที่พบบ่อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

– กราฟของ y = sin x

– กราฟของ y = cos x

– กราฟของ y = tan x

– กราฟของ y = cot x

– กราฟของ y = sec x

– กราฟของ y = cosec x

การแปลงกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

– คาบ คือ ความยาวของช่วงที่สั้นที่สุดที่ทำให้กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเหมือนกันกับช่วงอื่น ๆ – แอมพลิจูด คือ ครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

กำหนดให้ C เป็นค่าคงที่ ซึ่งไม่เท่ากับ 0

• sin(Cx) หรือ cos(Cx) : คาบ = 2π/|C| เรนจ์ = [-1, 1] แอมพลิจูด = 1

• sin x + C หรือ cos x + C : คาบ = 2π เรนจ์ = [C-1, C+1] แอมพลิจูด = 1

• C sin x หรือ C cos x : คาบ = 2π เรนจ์ = [-|C|, |C|] แอมพลิจูด = |C|

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ม

sin2 θ + cos2 θ = 1

sec2 θ = tan2 θ + 1

cosec2 θ = cot2 θ + 1

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

tan (θ + 2nπ) = tan θ

sec (θ + 2nπ) = sec θ

cosec (θ + 2nπ) = cosec θ

cot (θ + 2nπ) = cot θ

sin (-θ ) = – sin θ

cos (-θ ) = cos θ

tan (-θ ) = – tan θ

sec (-θ ) = sec θ

cosec (-θ ) = – cosec θ

cot (-θ ) = – cot θ

สูตรตรีโกณมิติ

สูตรผลบวกและผลต่างของมุม

sin⁡(A+B) = sin⁡ A cos ⁡B + cos ⁡A sin ⁡B sin⁡(A-B) = sin ⁡A cos ⁡B – cos ⁡A sin ⁡B cos⁡(A+B) = cos⁡ A cos ⁡B – sin ⁡A sin⁡ B cos⁡(A-B) = cos ⁡A cos ⁡B + sin ⁡A sin⁡ B

สูตรมุมสองเท่า

sin⁡ 2A = 2 sin ⁡A cos ⁡A cos⁡ 2A = cos2 A – sin2 A \= 1 – 2 sin2 A \= 2 cos2 A – 1

สูตรมุมครึ่งเท่า

สูตรผลคูณของ sin กับ cos

2 cos⁡ A cos ⁡B = cos⁡(A+B) + cos(A-B) -2 sin⁡A sin⁡B = cos⁡(A+B) – cos(A-B) 2 sin⁡A cos⁡B = sin⁡(A+B) + sin(A-B) 2 cos⁡A sin⁡B = sin⁡(A+B) – sin(A-B)

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เขียนแทนด้วย arc ตามด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ-1

เช่น จาก sin⁡ θ = 1

จะได้ arcsin(1) = θ = sin-1(1) = 90°

เรนจ์ของฟังก์ชัน arc

arcsin : [-90°, 90°] arctan : (-90°, 90°) arccosec : [-90°, 90°] – {0°}

arccos : [0°, 180°] arccot : (0°, 180°) arcsec : [0°, 180°] – {90°}

เทคนิคการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

1. ไม่สนใจเครื่องหมายของค่าในฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ให้หาค่า θ ของค่าบวกก่อน 2. พิจารณาว่า θ ควรอยู่ในจตุภาคใด โดยดูจากเรนจ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันนั้น

ตัวอย่างโจทย์

จงหา sec -1(-2) เฉลย

เทคนิคการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุม arc

1. กำหนดมุม arc เป็นมุม θ 2. วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของมุม α ซึ่งมีค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ เท่ากับ |ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม θ| 3. หาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของมุม α 4. พิจารณาเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการ โดยการพิจารณาว่ามุม θ อยู่จตุภาคใด

ตัวอย่างโจทย์

จงหา sin(2 arctan (2)) เฉลย

สมการตรีโกณมิติ

เทคนิคการแก้สมการตรีโกณมิติ

1. เปลี่ยน cosec, sec, cot ไปเป็น sin, cos, tan 2. ปรับสมการให้เหลือฟังก์ชันตรีโกณมิติน้อยที่สุด 3. ใช้สูตรหรือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่าง ๆ ปรับสมการให้อยู่ในรูป ผลคูณ = 0 4. ใช้การแก้สมการตัวแปรเดียวหรือการแก้สมการพหุนาม มาช่วยแก้ เช่น tan2 ⁡θ – 3 tan ⁡θ + 2 = 0 (tan ⁡θ – 2)(tan ⁡θ – 1) = 0 5. ตรวจเครื่องหมายของคำตอบและช่วงของคำตอบให้ดี เพื่อให้ได้คำตอบครบ ถูกต้อง และไม่เกิน

ตัวอย่างโจทย์

จงแก้สมการ cos 2θ + 5 sin θ + 2 = 0 เฉลย

กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

กฎของไซน์

กฎของโคไซน์

a2 = c2 + b2 – 2bc cos A

การแก้ปัญหาโดยใช้ตรีโกณมิติ

1. วาดรูป เพื่อให้เห็นภาพและสามารถวิเคราะห์โจทย์ได้ง่ายขึ้น 2. หาข้อมูลที่เรารู้จากโจทย์ 3. ตีความโจทย์ ว่าต้องการให้หาอะไร 4. ใช้ความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างโจทย์

เจนนี่ยืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 15° แต่เมื่อตรงเข้าไปหาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75° ถ้าเจนนี่สูง 165° เซนติเมตร จงหาความสูงของเสาธง

เฉลย

คุยกันท้ายบท

จะเห็นได้ว่า “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ในคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 จะมีความเชื่อมโยงกับบทที่ผ่านมาคือ “ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน” ซึ่งถ้าน้องคนไหน ไม่มีความรู้ความเข้าใจที่แท้จริงจากบทที่แล้ว ก็จะยิ่งสร้างปมปัญหาต่อมาถึงบทนี้ ดังนั้น ควรกลับไปทบทวน “ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน” จะได้นำความรู้ความเข้าใจจากบทที่แล้ว มาต่อยอดได้ในเนื้อหาของบทนี้

ที่สำคัญคือ อย่าลืมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ลองฝึกทำโจทย์ที่พี่ให้ไว้ หรือเข้าไปชมตัวอย่างวิดีโอการสอนต่าง ๆ พร้อมคิดคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้ครับ แล้วพบกันในบทต่อไป เข้มข้นยิ่งขึ้นกับ “เมทริกซ์” มีรูปแบบการคิดแบบใหม่ สนุกแน่นอนครับผม 🙂

พี่หวังว่า น้อง ๆ จะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้อง ๆ ประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แวะไปชมเนื้อหาบทต่อไปของคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กันด้วยนะ…อย่าเทพี่แชร์และพี่ปิงกลางทางนะครับ

ตัวอย่างบทเรียนเรื่องตรีโกณมิติ

2 Videos

กลับหน้าบทความหลัก

บทที่ 2 เมทริกซ์

• ปัจจุบันทำงานในบริษัท Start-up ด้านเทคโนโลยีหลายแห่ง
• อดีตเหรียญทองฟิสิกส์โอลิมปิก
• เคยทำงานที่บริษัท Oracle สหรัฐอเมริกา ซึ่งเป็นบริษัทซอฟต์แวร์ระดับ Top 5 ของโลก
• ผู้ร่วมก่อตั้งเว็บไซต์เด็กดีดอทคอม

ตัวอย่างการสอน โดยพี่แชร์

• อาจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ได้รับทุนสมเด็จพระนางเจ้าสิริกิติ์ พระบรมราชินีนาถ ไปศึกษาระดับปริญญาเอก ที่ University of California, Los Angeles ทางด้านคณิตศาสตร์