การหาร ไม ม เศษ เวทคณ ต พร อมเฉลย

ด้วยวิธีการยนั ความถูกต้องนั้น เพื่อความเข้าใจอย่างถ่องแท้ในความรู้นีเ้ ราควรจะต้องศึกษาความรู้พืน้ ฐาน

ต่อไปนีเ้ สียก่อนจึงจะสามารถตกผลึกความคิดได้

1.1 เศษเหลือของจานวนที่ถูกหารด้วยเก้า (9)

เก้า (9) เป็นเลขมหศั จรรย์ ในคณิตศาสตร์ มนั เป็นเลขโดดที่มีคา่ มากที่สุด (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

ในระบบการนบั ฐานสิบ ของระบบฮินดู-อารบิก

ในเวทคณิตได้กล่าวถงึ การยนั ความถกู ต้องไว้ใน สูตรนวเศษ (Vedic Sutra Navasesh) ซ่ึงเป็นภาษา

สนั สกฤต มาจากรากศพั ท์

• นวนฺ ค. พพ. ‘นวนั ’ เกา้ (nine)

• เศษ. น. ส่ิงที่เหลือ เดน ทรัพยเศษ (remainder, leavings, balance)

สมบตั ิของ การหารจานวนเต็มบวก (Positive Whole Number) ใด ๆ ด้วย เก้า พบสมบตั ิเศษเหลือท่ีหารด้วยเก้านี้

สามารถหาได้จากผลบวกเลขโดดของจานวนเต็ม น้นั ได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

กาหนด ให้หาการหารของ 37589 และ 4572 9

วิธีต้งั หาร 417 508

9)3 7 5 8 9)4 5 7 2

36 45

15 0 7 09 00

68 72

63 7 2

50

จากการหารข้างต้น 37589 เศษเหลือ คือ 5 แต่พอหาผลบวกเลขโดดของ 3758 ใหไ้ ดผ้ ลบวกเลขโดดข้นั สุดทา้ ยเป็นตวั เลขโดดเพยี งตวั เดียว หรือ

ผลบวกเลขโดดของจานวนน้นั ตอ้ งม่ีคา่ ไม่เกินเกา้ ดงั น้ี 3+ 7 +5+8 = 23 แต่ผลบวกยงั ไม่เป็นเลขโดดตวั เดียวหรือมีคา่ เกินเกา้ ยงั ตอ้ งคงหาผลบวกของ 23 ต่อไปอีกคือ 2 + 3 = 5 ไดเ้ ทา่ กบั 5 และก็พบวา่ 37589 เศษเหลือของการหารไดเ้ ท่ากบั 5 เท่ากบั พอดี หมายเหตุ เราจะใชส้ ัญลกั ษณ์ ผลบวกเลขโดดของ 3758 ดงั น้ี 3+ 7 +5+8 = 23 → 2 + 3 = 5 ในทานองเดยี วกนั 4572 9 หาผลบวกเลขโดดของ 4572 คือ 4 +5+ 7 + 2 =18 →1+8 = 9 แต่ 9 หารดว้ ย 9 ลงตวั เหลือเศษ 0 (ศนู ย)์ ดงั น้นั 4572 9 เศษเหลือของการหารไดเ้ ทา่ กบั 0 หรือเป็นการ หารลงตวั นนั่ เอง

3

พสิ ูจน์เชิงเลขคณิต

จากนิยามการหาร ถา้ a และ b เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ แลว้ a  b = a , b  0

b

ด้งั น้นั 3758 9 = 3758 แตต่ วั ต้งั 3758 สามารถ กระจายตามคา่ ประจาตาแหน่งของเลขฐาน 10 ได้

9

ด้งั น้ี 3758 = 3(1000) + 7(100) + 5(10) +8

ดงั น้นั 3758 = 3 (1000) + 7  (100) + 5 (10) + 8 99

\= 3 (1000) + 7  (100) + 5 (10) + 8  a + b = a + b  9 9 99  c c c 

\= 3 (999 +1) + 7  (99 +1) + 5 (9 +1) + 8 9 9 99

\=  3 999 + 3  +  7  99 + 7  +  5 9 + 5  + 8  9   9   9  9

\=  3 999 + 3  +  7  99 + 7  +  5 9 + 5  + 8  9 9   9 9   9 9  9

\=  333 + 3  +  77 + 7  +  5 + 5  + 8  9   9   9  9

\= 333 + 77 + 5 + 3 + 7 + 5 + 8 ผลบวกเลขโดด 9999 แต่ 23 = 2 + 5 \= 415 + 3 + 7 + 5 + 8 = 415 + 23 99 99

\= 415 + 2 + 5 = 417 + 5 99

จากการ 3758 9 เศษเหลือ คือ 5 และผลบวกเลขโดดของ 3758 (3+ 7 +5+8 = 23 → 2 + 3 = 5) ก็คอื 5

สรุปได้ว่า

จานวนเต็มใด ๆ ทีถ่ กู หารด้วยเก้า (9) เศษเหลือจากการหารจานวนเตม็ น้นั ด้วยเก้า สามารถหาได้จาก

ผลบวกเลขโดดทุก ๆ ตวั ของในจานวนเต็มน้ัน ๆ

บทนิยาม 1 นวเศษ (Navasesh) ของจานวนเตม็ ใด ๆ คือเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารจานวนเตม็ น้นั ดว้ ยเกา้ (9)

นวเศษ ของจานวนเตม็ I เขียนแทนด้วย N(I) หมายเหตุ นวเศษ (Navasesh) มีความหมายในทฤษฎีจานวนน้นั คือโมดุโลของเกา้ (Modulo-Nine)

บทนยิ าม 2 เลขโดด ในระบบฐานสิบ หมายถึงตวั เลขตวั เดียว ไดแ้ ก่ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 และ 0 บทนิยาม 3 ผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ ท่ีสามารถหาผลบวกเลขโดดได้ คือผลบวกเลขโดดทกุ ๆ หลกั ของ

จานวนน้นั ตอ้ งมีคา่ ไมม่ ากกวา่ 9 หรือผลบวกเลขโดดทุก ๆ หลกั ของจานวนจะตอ้ งมีผลบวกข้นั สุดทา้ ยเป็น ตวั เลขโดดเพยี งตวั เดียว แต่ถา้ ผลบวกยงั มีผลลพั ธเ์ ป็นเลขโดดมากกวา่ หน่ึงตวั แลว้ กใ็ หห้ าผลบวกเลขโดดน้นั ซ้า อีกจนไดผ้ ลบวกเลขโดดสุดทา้ ยเป็นตวั เลขโดดพยี งตวั เดียว

4

เช่น ผลบวกเลขโดดของ 17 คือ 1+ 7 = 8 ด้งั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 17 คอื 8

ผลบวกเลขโดดของ 123 คอื 6 เพราะวา่ 1+ 2 +3 = 6

ผลบวกเลขโดดของ 5245 คือ 5+ 2+ 4+5 =16 แต่ 16 ยงั ไม่เป็นเลขโดดหรือมีค่ามากกวา่ 9 จะตอ้ ง หาผลบวกเลขโดดของ 16 ต่ออีก คอื 1+ 6 = 7 ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 5245 เทา่ กบั 7

เขียนแทนด้วย 5245 →16 → 7

ในทานองเดยี วกนั สาหรับ 39 ผลบวกเลขโดดของ 39 เขียนแทนดว้ ย 39 → 3+9 =12 →1+ 2 = 3

หมายเหตุ ผลบวกเลขโดดภาษาสนั สกฤต คือพชี างกะ ( बीज ंाक = Beejank = digit sum)

กฎของนวเศษ

ให้ a,b,c เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ

1. N(a + b + c) = N[N(a) + N(b) + N(c)] 2. N(a  b) = N[N(a) N(b)] 3. N(a − b) = N[N(a) − N(b)] 4. N(−a) = 9 − N(a) 5. N(9) = N(0) 6. ถา้ a หารดว้ ย b แลว้ ผลหาร q เศษเหลือ r

N(a) = N(q  b) + N(r) = N ( N(q)  N(b)) + N(r)

พสิ ูจน์ จากบทแทรกการหารของยคุ ลดิ (Euclid's division lemma)

สาหรับจานวนเตม็ a และ d ใด ๆ จะตอ้ งมีจานวนเตม็ q และ r เพยี งค่เู ดียวทีทาให้ a = dq + r และ 0  r  d ข้นั ตอนการหาร กล่าวถึงผลลพั ธจ์ ากการหารของจานวนเตม็ ไวอ้ ยา่ งเท่ียงตรง ที่สาคญั ข้นั ตอน

การหารยนื ยนั วา่ จานวนเตม็ ที่เรียกวา่ ผลลพั ธ์ q (quotient) และ เศษเหลือ r (remainder) มีอยเู่ สมอและมีเพยี ง

คา่ เดียวสาหรับตวั ต้งั a และตวั หาร d โดยที่ d  0

จากสมการการหาร a = dq + r และ 0  r  d

ด้งั น้นั N(a) = N(q d) + N(r) = N ( N(q)  N(d)) + N(r)

ตัวอย่างนวเศษของจานวนเต็มใด ๆ

เช่น นวเศษของ 317 เขยี นแทนดว้ ย N(317) = N(3+1+ 7) = N(11) = N(1+1) = N(2) = 2 นวเศษของ 437 เขียนแทนดว้ ย N(437) = N(4 + 3+ 7) = N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5

5

ตัวอย่างวธิ ีการคดิ นวเศษ กรณีท่ี 1 นวเศษของจานวนที่มีหลกั เดียวคอื ตวั เลขน้นั เลย เช่น

N(5) = 5

กรณีท่ี 2 นวเศษของจานวนท่ีมีมากกวา่ หน่ึงตวั คือผลบวกของเลขโดดแต่ละหลกั เช่น N (52) = N (5 + 2) = N (7) = 7

N(68) = N(6 + 8) = N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5

N (234) = N (2 + 3 + 4) = N (9) = 9 แต่นวเศษ คือเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารจานวนเตม็ ดว้ ย 9 ดงั น้นั เม่ือเศษเหลือคอื 9 เมื่อดาเนินการหารต่อดว้ ย 9 จะไดผ้ ลหารเป็น 1 เหลือเศษเป็นศูนย์ (0) ดังน้นั N (234) = N (2 + 3 + 4) = N (9) = 9 = N(0) = 0 กรณีที่ 3 นวเศษของสองจานวนบวกกนั เช่น 43+ 25 = 68 หา N(43+ 25) = N ( N(43) + N(25)) = N ( N(4 + 3) + N(2 + 5)) = N(N(7) + N(7)) = N(7 + 7)

\= N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5

และหานวเศษของ N(68) = N(6 +8) = N(14) = N(1+ 4) = N(5) = 5 เพราะฉะน้นั N(43+ 25) = N(68) แสดงวา่ “นวเศษของแตล่ ะจานวนท่ีบวกกนั จะตอ้ งเท่ากบั นวเศษของผลบวกทุกจานวนน้นั ๆ” กรณีท่ี 4 นวเศษของสองจานวนลบกนั เช่น 63−19 = 44 หา N(63 −19) = N ( N(63) − N(19)) = N ((6 + 3) − N(1+ 9)) = N ( N(9) − N(10))

\= N ( N(9) − N(1+ 0)) = N(9 −1) = N(8) = 8 และหา N (44) = N (4 + 4) = N (8) = 8 เพราะฉะน้นั N(63−19) = N(44) หรือในกรณกี ารลบมคี ่าตดิ ลบ เช่น 49−82 = −33 ดงั น้นั N(49 − 82) = N ( N(49) − N(82)) = N (N(4 + 9) − N(8 + 2)) = N ( N(13) − N(10))

\= N ( N(1+ 3) − N(1+ 0)) = N(4 −1) = N(3) = 3 แต่ N(−33) = 9 − N(33)) = 9 − N(3+ 3) = 9 − 6 = 3 (ตามกฎขอ้ ท่ี 4) เพราะฉะน้นั N(49 −82) = N(−33) กรณีที่ 5 นวเศษของสองจานวนคูณกนั เช่น 124 = 48 นวเศษของ N(12 4) = N ( N(12)  N(4)) = N (N(1+ 2)  N(4))

\= N(3 4) = N(12) = N(1+ 2) = N(3) = 3

และนวเศษผลคูณ N(48) = N(4 +8) = N(12) = N(1+ 2) = N(3) = 3 เพราะฉะน้นั N(124) = N(48)

6

กรณีท่ี 6 นวเศษของสองจานวนหารกนั เช่น 1235 = 24 เศษเหลือ 3 จากบทแทรกการหารของยคุ ลิด 123 = 245+ 3 จากขอ้ ท่ี 6 ของนวเศษ N(123) = N ( N(24) N(5)) + N(3)

N(1+ 2 + 3) = N ( N(2 + 4)  N(5)) + N(3) N(6) = N ( N(6)  N(5)) + N(3) 6 = N (6 5) + N(3) = N (30) + N(3) = N(3+ 0) + N(3) = 3+ 3 = 6

เพราะฉะน้นั N(123) = N(245) + N(3)

1.2 การคดั ออกเก้า (Casting Out Nines)

พจิ ารณา วงกลมเกา้ จุด จานวนในแต่ละจุดบนวงกลมจะมีผลบวกเลขโดดเท่ากนั ดงั รูป https://vedicmaths4all.com/courses/topic-4-digit-sums/nine- point-circle/ จากความรู้เรื่องวงกลมเกา้ จุด จะพบสมบตั ิ “การคัดออกเก้า” อนั เป็นเทคนิควิธีของการหาเศษเหลือจากการหารจานวนเตม็ บวกใด ๆ ดว้ ยเกา้ ดงั ท่ีกล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้ เพราะ 0 และ 9 มี สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์สาหรับการหาผลบวกเลขโดดของ จานวนใด ๆ

ศูนย์ (0) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์สาหรับการบวกอยแู่ ลว้ เช่น 30 มีผลบวกเลขโดด คือ 3+ 0 = 3

ดงั น้นั แทนท่ีจะหาผลบวกเลขโดดดว้ ยวธิ ีตรง ๆ เราก็คดั หรือตดั 0 ออกไดเ้ ลยดงั น้ี 30 → 3 หรือ 300 → 3+ 0 + 0 → 3 คดั 0,0 ออกไดเ้ ลย 300 → 3 เป็นตน้

เก้า (9) มีสมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์สาหรับการบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ ดงั น้นั ในการหาผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ เช่น 19 มีผลบวกเลขโดดคือ 1+9 =10

แต่ผลบวกเลขโดดยงั มีคา่ มากกวา่ 9 ยงั ตอ้ งหาผลลบวกเลขโดดต่อ คือ 1+ 0 =1 ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 19 คือ 1 แต่ แทนท่ีจะหาผลบวกเลขโดดดว้ ยวธิ ีตรง ๆอยา่ งขา้ งตน้ เรากลบั ใชว้ ธิ ีการคดั หรือตดั 9 ออกไดเ้ ลยดงั น้ี

19 → 1

39 มีผลบวกเลขโดดคือ 3+ 9 =12 →12 →1+ 2 → 3 จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ คดั 9 หรือตดั 9 ออกไดเ้ ลย 3 9 → 3

หรือ 399 → 3+ 9 + 9 → 21→ 2 +1→ 3 คดั 9,9 ออกไดเ้ ช่นเดียวกนั 399 → 3

7

บทนยิ าม 3 การคดั ออกเก้า (Casting Out Nines) เป็นวิธีเทคนิควธิ ีแทนการหาผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ ดว้ ยการคดั เลข 9 หรือผลบวกเลขโดดสามารถรวมกนั ไดเ้ ท่ากบั 9 ท่ีมีอยใู่ นจานวนน้นั ออกจนผลการคดั ออก สุดทา้ ยมีค่าไม่เกิน 9 หรือตวั เลขเพียงตวั เดียว ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกเลขโดดของ 3949 วธิ ีทา โดยวธิ ีปกติ

หาผลบวกเลขโดดคือ 3+ 9 + 4 + 9 = 25 → 2 +5 = 7 โดยวธิ คี ดั ออกเก้า

3 9 4 9 คดั 9 ท้งั สองตวั ออกไดเ้ ลย เหลือ 3 เลข 4 กบั ดงั น้นั 3+ 4 = 7

ตัวอย่างที่ 2 หาผลบวกเลขโดดของ 4379348568219 วธิ ีทา ข้นั ท่ี 1 พิจารณาถา้ ในจานวนน้นั มีเลข 9 อยู่ ใหค้ ดั ออกก่อน

43793485 68219

ข้นั ที่ 2 พิจารณาผลบวกเลขโดด 2 ตวั ข้นึ ไปท่ีรวมกนั ได้ 9 ใหค้ ดั ออก เช่นกนั

437 9 348 5 68 219

พบวา่ 3+ 6 = 8+1= 4 + 5 = 7 + 2 = 9 คดั ออกได้ ตวั เลขท่ีเหลือหาผลบวก 4 + 3+8 =15 →1+ 5 = 6 ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 4379348568219 เท่ากบั 6 ตัวอย่างที่ 3 หาผลบวกเลขโดดของ 4954653 วิธีทา ผลบวกเลขโดดของ 4954653 โดยวิธีคดั ออกเกา้

9

4+9+5+4+6+5+3 = 0

99

นอกจากนยี้ ังมสี มบัติอื่น ๆ เช่น • แสดงค่าท่ีนอ้ ยท่ีสุดของผลบวกกาลงั สามของสองจานวนแรกของจานวนนบั จะมีผลบวก เทา่ กบั เกา้ สมอ นนั่ คือ 13 + 23 = 9 • ผลคณู จานวนใด ๆ ที่ถูกคูณดว้ ย 9 ถึงจานวนน้นั จะมีค่าเท่าใดก็ตาม ผลบวกเลขโดดของผล คูณจานวน น้นั ๆ จะเป็นเกา้ เสมอ ตวั อยา่ งเช่น ก) 1239 =1107 ผลบวกเลขโดดของ 1107 คือ 1+1+ 0 + 7 = 9 ข) 4598739 = 4138857 ผลบวกเลขโดดของ 4138857 คือ

4 +1+ 3+8 +8 + 5 + 7 = 36 → 3+ 6 = 9

8

• รูปแบบการหารจานวนเตม็ ที่นอ้ ยกวา่ 9 จะมีรูปแบบเป็นเอกลกั ษณ์เสมอ ดงั น้ี

1 = 0.1111.... 2 = 0.2222.... 3 = 0.3333.... 9 9 9 4 = 0.4444.... 5 = 0.5555.... 6 = 0.6666.... 9 9 9 7 = 0.7777.... 8 = 0.8888.... 9 = 0.9999.... 9 9 9

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 1 จานวนเตม็ ผลบวกของเลขโดด จงหาผลบวกตวั เลขโดดของจานวนต่อไปน้ี 2346 จานวนเตม็ ผลบวกของเลข 16271 9653 465 36247 274 215841 3335 6139 7125 2561 9821736 891 723

9

1.3 การยันความถูกต้องของการคานวณด้วยวิธีการคดั ออกเก้า

เนื่องจากสมบตั ิจานวนใด ๆที่สามารถหาผลบวกเลขโดดได้ “เมื่อถูกการหารดว้ ยเกา้ (9) แลว้ จะพบวา่

เศษเหลือท่ีเกา้ หารจานวนน้นั จะเท่ากบั ผลบวกเลขโดดของจานวนน้นั ดว้ ย”

และการหาผลบวกเลขโดดกห็ าไดง้ ่าย รวดเร็วดว้ ยวิธคี ัดการออกเก้า

จึงนามาประยกุ ตใ์ ชใ้ นการตรวจสอบความถูกตอ้ งในการบวก ลบ คณู และหารได้ โดยไม่ตอ้ งตรวจสอบดว้ ยการ

ตรวจซ้า ๆ แบบวิธีด้งั เดิม เรียกวธิ ีการน้ีวา่

“การยนั ความถูกต้องด้วยวิธีการคดั ออกเก้า”

(Cross-Checked by Casting Out Nines)

1.3.1 การตรวจสอบยนั ความถกู ต้องสาหรับการบวก

ตวั อย่างท่ี 1 หาผลบวกของ 32 +12 และตรวจคาตอบดว้ ยวธิ ีการยนั ความถกู ตอ้ ง

วธิ ที า ผลบวกเลขโดด

ตวั ต้งั 3 2 →3+2=5 5 ตวั บวก + + 3 1 2 →1+ 2 = 3

ผลลพั ธ์ 4 4 →4+4=8 8 คาตอบ คือ 44 ถูกตอ้ ง

วธิ ีการยันความถูกต้องของคาตอบการบวก ว่าการบวกน้ันถกู ต้องหรือไม่มีข้นั ตอนดงั นี้

1. หาผลบวกตวั เลขของสองจานวนที่นามาบวกกนั คอื 32 ผลบวกเลขโดดคือ 3+ 2 = 5

และ 12 ผลบวกเลขโดดคือ 1+ 2 = 3

และคาตอบ 44 ผลบวกเลขโดดคือ 4 + 4 = 8

2. ยนั ความถูกตอ้ งดว้ ยการนามาจากผลบวกเลขโดดของของสองจานวนท่ีนามาบวกกนั น้นั คือ 5 กบั 3 บวกกนั ได้ 8 ซ่ึงไดเ้ ทา่ กบั ผลบวกเลขโดดของคาตอบ คือ 4 + 4 = 8 แสดงวา่ คาตอบถกู ตอ้ ง

แต่เนื่องจากการหาผลบวกเลขโดดทก่ี ล่าวข้างต้นสามารถใช้วิธีการคดั อออกเก้าแทนได้ดงั ตัวอย่างที่

แสดงวิธีการได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลบวกของ 93615 + 18209 และตรวจคาตอบดว้ ยวธิ ียนั ความถกู ตอ้ ง

วิธีทา ใชว้ ธิ ีคดั การออกเกา้ เพื่อความรวดเร็วในการคิดเลข

ผลบวกเลขโดดดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้

9 3 615 6 ตัวต้ัง คดั 9 และ 3+ 6 = 9 ออก เหลือ 1+ 5 = 6

• + ตัวบวก คดั 9,0 และ 1+8 = 9 ออก เหลือ 2 18209 2

0 1 8 1 4 =1118 2 4 8 คาตอบ คดั 9 ออก เหลือ 1+1+1+8+ 2 + 4 = 8

1 1001

10

ตวั อย่างท่ี 3 หาผลบวกของ 279 + 121 และตรวจคาตอบดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้

วิธีทา 2 7 9 0 1. เราไดค้ าตอบ 400

• + 4 2. หาผลบวกเลขโดดของ 279 โดยการคดั ออกเลข 9 คอื 0

121

400 4 121 ผลบวกเลขโดด คือ 4

3. หาผลบวกของ 0 และ 4 ได้ 4

4. ผลบวกเลขโดดของคาตอบ 400 คอื 4 โดยการตดั ออกเลข 9

ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั 4 ในขอ้ 3

สรุปข้ันตอนการคดิ ดงั นี้

1. หาผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ดว้ ยวธิ ีการคดั ออกเกา้ 2. หาผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ของเลขสองจานวนที่นามาบวกกนั (ในขอ้ 1)

3. นาผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั ไปบวกกบั ผลบวกเลขโดดของตวั ที่นามาบวก แลว้ ถา้ ผลบวกเลขโดด ของผลลพั ธ์น้ีเท่ากบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธข์ องเลขสองจานวนที่นามาบวกกนั น้นั (ในขอ้ 2) แสดงวา่ คาตอบในการบวกเลขสองจานวนน้นั ถูกตอ้ ง และในทางตรงขา้ มก็แสดงวา่ คาตอบไมถ่ ูกตอ้ ง

1.3.2 การตรวจสอบยันความถูกต้องสาหรับการลบ

ตวั อย่างท่ี 1 ตรวจสอบวา่ 4127 − 2376 =1751 ถูกตอ้ งหรือไม่ วธิ ีทา คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

412 7 → 4+1 5

− −

2376 →0 0

17 51 →5 5 แสดงวา่ ถูกตอ้ ง

ตวั อย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 65451− 48769 =16682 ถกู ตอ้ งหรือไม่

วิธีทา คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

−2 − 5 3− 7 654 5 1 → −4 48769

−1

1 6 682

ในกรณีการคดั ออกเกา้ มีค่าเป็นลบ เน่ืองจากการหารเศษเหลือตอ้ งเป็นจานวนบวก ดงั น้นั จะตอ้ งนา 9 มาบวกกบั เศษเหลือท่ีเป็นจานวนลบเพือ่ ให้เศษเหลือมีคา่ เป็นบวกตามข้นั ตอนการหารของยคุ ลิด ดงั น้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 เพราะฉะน้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 → −4 + 9 = 5

11

ตวั อย่างท่ี 3 หาค่าของ 35567 −11828 และตรวจสอบคาตอบดว้ ยการยนั ความถูกตอ้ ง

วิธที า 3 5 5 6 7 การยนั ความถกู ตอ้ ง 8

11 8 2 8 −

2

2 3 7 3 9 →6 6

สรุป ใชก้ ารคดั ออกเกา้ ในการยนั ความถกู ตอ้ งเป็นจริง 1.3.3 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการคูณ ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 243257 = 62451 ถูกตอ้ งหรือไม่ วิธีทา คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั คณู

243 → 9 → 0

257 → 5 ดงั น้นั 243257 → 05 = 0 คดั ออกเกา้ ของคาตอบ 62451→ 0 คาตอบถูกตอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 2 ตรวจสอบวา่ 46723469 =16207168 ถูกตอ้ งหรือไม่

วธิ ที า คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั คูณ

4672 → 1

3469 → 4 ดงั น้นั 46723469 →14 = 4

คดั ออกเกา้ ของคาตอบ 16207168 → 4 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 3 หาคา่ ของ 876143 และตรวจสอบผลเฉลยยนั ความถูกตอ้ ง

วธิ ีทา 8 7 6 1 4 การยนั ความถูกตอ้ ง 8

 

33

4 1 8 3 2 = 262842 24 → 6

2 2101

ผลบวกเลขโดดของคาตอบ 262842 ผลบวกเลขโดด เทา่ กบั 6

18 → 9 → 0

สรุป ใชก้ ารคดั ออกเกา้ ในการยนั ความถูกตอ้ งเป็นจริง

ตวั อย่างท่ี 4 หาผลคูณของ 84791247 ดว้ ย 25 และตรวจสอบยนั ความถูกตอ้ ง

วธิ ีทา การคูณดว้ ยตวั คูณ 25 มีเทคนิคการคิด ดว้ ยการเขยี นศูนยส์ องตวั ที่ทา้ ยเลข 84791247 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น

8479124700

แลว้ หารดว้ ย 4 = 8479124700  4 = 2119781175

ดงั น้นั 8479124725 = 2119781175

12

วธิ ีการคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines) ตวั ต้งั 84791247 → 6 ตวั คูณ 25 → 7 คาตอบ 2119781175 → 6 ดงั น้นั 76 = 42 → 6

1.3.4 การตรวจสอบยันความถกู ต้องสาหรับการหาร

การยนั ความถกู ตอ้ งของการหาร ตอ้ งใชส้ มการจากข้นั ตอนการหาร ตวั ต้งั = ตัวหาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

ตัวอย่าง แสดงการตรวจสอบยนั ความถูกตอ้ งของคาตอบในการหาร

ตัวอย่างที่ 1 แสดงการยนั ถูกตอ้ งของ 671 4 =167 + 3 ดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้

4

วธิ ีคิด จากสมการข้นั ตอนการหาร กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

LHS = RHS คดั ออกเกา้ สาหรับตวั ต้งั 671→ 5

สาหรับตวั หาร 4 → 4 สาหรับผลลพั ธ์ 167 → 5 สาหรับเศษเหลือ 3 → 3

RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ =1674 + 3 → 45+ 3 → 2 + 3 → 5

LHS = ตวั ต้งั = 5 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง วิธที า จากสมการข้นั ตอนการหาร

ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

จากวิธีการคดั ออกเกา้ 5 = 45+3

5 = 20 + 3 → 5

หรือจากตวั อย่างท่ี 1 กรณผี ลหารเป็ นทศนิยม 6714 =167.75

กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

LHS = RHS

13

คดั ออกเกา้ สาหรับตวั ต้งั 671→ 5 สาหรับตวั หาร 4 → 4 สาหรับผลลพั ธ์ 167.75 →8

จากสมการข้นั ตอนการหาร RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ = 48 = 32 →5 LHS = ตวั ต้งั = 5 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

วิธที า จากสมการข้นั ตอนการหาร ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

จากวธิ ีการคดั ออกเกา้ 5 = 48 → 32 → 5

14

1.4 เศษเหลือของจานวนที่ถูกหารด้วยสิบเอด็ (11)

บทนา การตรวจสอบความถกู ตอ้ งของคาตอบในการคานวณดว้ ยวธิ ีการคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines) จะมี

ปัญหา อนั เน่ืองจากอนั ดบั ของตวั เลขโดดในแต่ละหลกั ของจานวนต่างกนั แต่ผลบวกตวั เลขทกุ ๆ หลกั มีค่า เทา่ กนั ดงั ตวั อยา่ งน้ี ผลบวกเลขโดดของ 634 → 6 +3+ 4 = 4 ผลบวกเลขโดดของ 463 → 4 + 6 +3 = 4 ผลบวกเลขโดดของ 643 → 6 + 4 +3 = 4

ดว้ ยเหตุผลขา้ งตน้ นกั คณิตศาสตร์พบวธิ ีแกป้ ัญหาดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็ (Casting Out Elevens) กล่าวคอื “วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ เหมาะกบั การคานวณท่ีจานวนท่ีนามาคิดเลขมีคา่ มาก ๆ หรือประกอบดว้ ยเลข โดดหลาย ๆ หลกั ถา้ อนั ดบั ของตวั เลขโดดในแตล่ ะจานวนตา่ งกนั จะไดผ้ ลบวกเลขโดดต่างกนั ทนั ที นน่ั หมายความวา่ วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ ใชไ้ ดด้ ีกวา่ วิธีการคดั ออกเกา้

แต่ก่อนท่ีจะศึกษาการตรวจสอบคาตอบถูกตอ้ งของการคานวณดว้ ยการยนั ความถกู ตอ้ ง ดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็ น้นั จะกล่าวสมบตั ิการหารจานวนใดดว้ ยสิบเอด็ เสียก่อน ดงั ต่อไปน้ี

สมบตั ิของ 11 สาหรับการหารจานวนใด ๆเสียก่อนเพ่ือความเขา้ ถึงเศษเหลือของการหารน้นั จาก ความรู้ทฤษฎีทวินาม (Binomial Theorem) พจิ ารณา (a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 − 2ab + b2

(a − b)3 = (a + (−b))3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

(a − b)4 = (a + (−b))4 = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4

(a − b)5 = (a + (−b))5 = a5 − 5a4b +10a3b2 −10a2b3 + 5ab4 − b5

สังเกต ทวินามท่ียกกาลงั คู่เม่ือกระจายแลว้ พจนส์ ุดทา้ ยจะมีเครื่องหมายเป็นบวก ในทางตรงขา้ ม ทวนิ ามที่ยกกาลงั คี่เมื่อกระจายแลว้ พจนส์ ุดทา้ ยจะมีเคร่ืองหมายเป็นลบ

ลองพจิ ารณา จานวนสองจานวนน้ี 3758 และ 58454 เม่ือเรากระจายใหอ้ ยใู่ นรูปของคา่ ประจาตาแหน่งของเลขฐานสิบจะได้

รูปแบบดงั น้ี 3758 = 3(10)3 + 7(10)2 + 5(10) + 8 แทน 10 ดว้ ย (11−1) =10

3758 = 3(11−1)3 + 7(11−1)2 + 5(11−1) + 8

ในทานองเดียวกนั

58454 = 5(10)4 + 8(10)3 + 4(10)2 + 5(10) + 4

หรือ 58454 = 5(11−1)4 + 8(11−1)3 + 4(11−1)2 + 5(11−1) + 4

15

แต่เมื่อพจิ ารณา

(11−1)3 =113 − 3112 + 311−1

ถา้ นา 11 หารจานวนน้ีแลว้ เศษเหลือจะเท่ากบั −1

(11−1)4 =114 − 4113 + 6112 − 411 +1

แตถ่ า้ นา 11 หารจานวนน้ี เศษเหลือจะเทา่ กบั +1

ดงั น้นั ถ้าพจิ ารณาอย่างละเอยี ดแล้วถ้านา 375811 แล้วเศษเหลือจะเท่ากบั −3+ 7 −5+8 = 7

และในทานองเดียวกนั ถ้านา 5845411 แล้วเศษเหลือจะเท่ากบั 5−8+ 4 −5+ 4 = 0

วิธีต้งั หาร 341 531 4

11)3 7 5 8 11)5 8 4 5 4

33 55

45 34 44 33

18 15 11 11

7 44

44

0

สรุป การหาเศษเหลือของจานวนใด ๆ ท่ีหารดว้ ย 11 น้นั เป็นดงั น้ี - แบง่ ตวั เลขของจานวนที่จะถูกหารดว้ ย 11 น้นั ออกเป็นสองส่วนคือเลขโดดตาแหน่งหลกั คี่กบั เลข โดดตาแหน่งหลกั คู่ ตาแหน่งหลกั คี่ ใหเ้ ร่ิมนบั จากหลกั หน่วยเป็นตาแหน่งท่ี 1 หลกั ร้อยเป็นตาแหน่งที่ 3 หลกั หมื่นเป็นตาแหน่งที่ 5 เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ ตาแหน่งหลกั คู่ ใหเ้ ริ่มนบั จากหลกั สิบเป็นตาแหน่งท่ี 2 หลกั พนั เป็นตาแหน่งท่ี 4 หลกั แสนเป็นตาแหน่งท่ี 6 เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ - กาหนดตาแหน่งหลกั ค่ี เป็น บวก ส่วนตาแหน่งหลกั คู่ เป็น ลบ สลบั เคร่ืองหมายบวกและลบ ไปเรื่อย ๆ - ถา้ หาผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั ค่กี บั ผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั คู่ขา้ งตน้ น้นั เป็น 0 หรือ 11 หรือพหุคูณของ 11 แลว้ แสดงวา่ จานวนน้นั 11 หารลงตวั แต่ ทางตรงขา้ มผลบวกขา้ งตน้ น้นั ไม่ได้ 0 หรือ 11 หรือพหุคูณของ 11 แสดงวา่ จานวนน้นั ถูกหาร ดว้ ย 11 หารไม่ลง ดงั น้นั ผลบวกของเลขโดดน้ีกจ็ ะเป็นเศษเหลือของการหารดว้ ย 11

16

- ในกรณีหาผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั คีก่ บั ผลบวกตวั เลขของตาแหน่งหลกั คู่ มีค่าเป็น จานวนลบ ซ่ึงจานวนท่ีหารดว้ ย 11 เศษเหลือเป็นจานวนลบ ปกติเศษเหลือตอ้ งเป็นจานวนบวก ตามข้นั ตอนการหาร ใหน้ าเศษเหลือท่ีเป็นจานวนลบบวกกบั 11 อีกคร้ังจนไดเ้ ป็นจานวนบวก ก็จะเป็ นเศษเหลือของการหารน้ นั

ตัวอย่างที่ 1 แสดงวา่ 14641 ถกู หารดว้ ย 11ลงตวั วิธีทา แจกแจงตาแหน่งหลกั ของตวั ต้งั 1 4 6 4 1

หาผลบวกเลขโดดตาแหน่งหลกั ค่ี =1+ 6+1= 8 (หลกั ที่ 1,3,5) หาผลบวกเลขโดดตาแหน่งหลกั คู่ = 4+ 4 = 8 (หลกั ที่ 2,4) ผลตา่ งของผลบวกเลขโดดหลกั คู่กบั หลกั คีข่ า้ งตน้ = 8+ (−8) = 0 แต่ ถา้ ใชว้ ิธีหารผลบวกสลบั เคร่ืองหมายท่ีหลกั จะรวดเร็วและมีความถูกตอ้ งสูงกวา่ และไม่ตอ้ งจดจา ดงั นี้ เร่ิมทห่ี ลกั หน่วย เป็นหลกั คี่มีเครื่องหมายเป็นบวก หลกั สิบเป็นหลกั คู่มีเคร่ืองหมายเป็น ลบ

14641 : 1− 4 + 6 − 4 +1 = 0

ดงั น้นั 14641 ถกู หารดว้ ย 11 ลงตวั เขียนแทนดว้ ย 1114641(อา่ นวา่ “สิบเอด็ หาร หม่ืนส่ีพนั หกร้อยส่ีสิบเอ็ด ลงตวั ”)

ตวั อย่างท่ี 2 หาเศษเหลือของ 542781192 ถูกหารดว้ ย 11 มีคา่ เท่าไร วธิ ที า สลบั ลาดบั ตวั เลขหลงั สุดกบั ตวั หนา้ สุดโดยเรียงลาดบั ดงั น้ี

542781192 : 2,9,1,1,8,7, 2, 4,5

แลว้ เขียนแสดงการหาผลบวกของตวั เลขแตล่ ะหลกั โดยตวั หนา้ สุดใส่เครื่องหมายบวกแลว้ ตวั เลขหลกั ถดั ไปใส่ เครื่องหมายลบสลบั กนั ไปจนถึงตาแหน่งสุดทา้ ย ดงั น้ี 542781192 : 2 −9 +1−1+8 − 7 + 2 − 4 + 5 = −3 พบวา่ ผลบวกเป็นจานวนลบแลว้ ใหบ้ วก 11 กบั −3 ดงั น้นั −3+11= 8 แสดงวา่ 11 หาร 542781192 เหลือเศษ 8 ตัวอย่างที่ 3 หาเศษเหลือของ 382745 ถกู หารดว้ ย 11 มีค่าเทา่ ไร วธิ ีทา สลบั หลกั ตวั เลขของ 382745 เป็น 5, 4, 7, 2, 8, 3 แลว้ ผลบวกของเลขโดดของ 382745 : +5− 4 + 7 − 2 +8−3 = 20 −9 =11 ผลบวกท่ากบั 11 แสดงวา่ 11 หาร 382745 ลงตวั หรือเศษเหลือเทา่ กบั 0 ตวั อย่างที่ 4 หาเศษเหลือของ 3987 ถูกหารดว้ ย 11 มีคา่ เทา่ ไร วธิ ีทา สลบั หลกั ตวั เลขของ 3987 แลว้ ผลบวกคดิ เครื่องหมายแต่ละหลกั ของ 3987

3987 : 7 −8 + 9 −3 = 5

ผลบวกเลขโดด เทา่ กบั 5 ดงั น้นั แสดงวา่ 11 หาร 3987 ไม่ลงตวั เศษเหลือเทา่ กบั 5

17

1.5 การยันความถูกต้องด้วยวิธีการคัดออกสิบเอด็

เนื่องจากการยนั ความถกู ตอ้ งดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ มีปัญหาในกรณีที่ผลบวกเลขโดดเทา่ กนั ของจานวนที่ไม่

เทา่ กนั เช่น 125,152,215,251,512 และ 521

พบวา่ จานวนขา้ งตน้ มีตวั เลขเหมือนกนั แตเ่ ขียนสลบั หลกั กนั หาผลบวกเลขโดดเท่ากนั คอื 8 น่ีคือ

ขอ้ บกพร่องของวธิ ีการคดั ออกเกา้ แต่วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ สามารถแกป้ ัญหาน้ีได้

1.5.1 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการบวก

ตวั อย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 2415+ 289 = 2794 ถกู ตอ้ งหรือไม่ ดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็

วธิ ที า ตวั ต้งั 2415: 5−1+ 4 − 2 = 6

ตวั บวก 289: 9 −8 + 2 = 3

ผลลพั ธ์ 2794: 4 −9 + 7 − 2 = 0

แตผ่ ลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ในที่น้ี 6 + 3 = 9 ไมเ่ ท่ากบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ คือ 0

ดงั น้นั 2415+ 289  2794 ไมถ่ ูกตอ้ ง

เพราะฉะน้นั ต้องหาผลบวกใหม่ คือ 2415+ 289 = 2704 แล้วตรวจสอบความถูกต้องของคาตอบ

วธิ ีทา ตวั ต้งั 2415: 5−1+ 4 − 2 = 6

ตวั บวก 289: 9 −8 + 2 = 3

ผลลพั ธ์ 2704: 4 − 0 + 7 − 2 = 9

ผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ในท่ีน้ี 6 +3 = 9 เทา่ กบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ คือ 9

ดงั น้นั 2415+ 289 = 2704 ถกู ตอ้ ง

หมายเหตุ ความแตกต่างพ้ืนฐานระหวา่ งวิธีการคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines) กบั วิธีการคดั ออกสิบเอด็

(Casting Out Elevens) คือ วิธีการคดั ออกสิบเอด็ เหมาะกบั การคานวณที่จานวนที่นามาคดิ เลขมีคา่ มาก ๆ หรือ

ประกอบดว้ ยเลขโดดหลาย ๆ หลกั ส่วนวธิ ีการคดั ออกเกา้ จะมีปัญหา อนั เน่ืองจากอนั ดบั ของตวั เลขโดดใแต่ละ

จานวนตา่ งกนั แต่ผลบวกตวั เลขเทา่ กนั แต่ในขณะที่วิธีคดั ออกสิบเอด็ ถา้ อนั ดบั ของตวั เลขโดดในแตล่ ะจานวน

ต่างกนั จะไดผ้ ลบวกเลขโดดต่างกนั ทนั ที นนั่ หมายความว่าวธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ ใชไ้ ดด้ ีกวา่ วธิ ีคดั ออกเกา้

ดงั ตวั อยา่ งน้ี

วิธีการคดั ออกเก้า วิธีคดั การออกสิบเอด็

ผลบวกเลขโดดของ 634 → 6 +3+ 4 = 4 634 : 4 − 3+ 6 = 7

ผลบวกเลขโดดของ 463 → 4 + 6 +3 = 4 463: 3− 6 + 4 =1

ผลบวกเลขโดดของ 643 → 6 + 4 +3 = 4 643: 3− 4 + 6 = 5

หมายเหตุ ขอ้ ดีของการคดั ออกเกา้ สามารถคิดไดร้ วดเร็ว จาวธิ ีการง่าย ในการยนั ความถกู ตอ้ ง ดงั น้นั ถา้ ผใู้ ช้

วิธีการคดั ออกเกา้ มีความระมดั ระวงั ละเอียดถี่ถว้ น ก็สามารถใชไ้ ดอ้ ยา่ งดี ๆ กวา่ วิธีการคดั ออกสิบเอด็

18

1.5.2 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการลบ ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 4127 − 2376 =1751 ถกู ตอ้ งหรือไม่ วธิ ที า ดว้ ยวิธีคดั การออกสิบเอด็ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

4127 : 7 − 2 +1− 4 = 2

2376 : 6 − 7 + 3− 2 = 0

ดงั น้นั 4127 − 2376 : 2 − 0 = 2 คดั ออกสิบเอด็ สาหรับคาตอบ 1751:1−5+ 7 −1= 2 แสดงวา่ ถูกตอ้ ง ตวั อย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 65451− 48769 =16862 ถูกตอ้ งหรือไม่ วิธีทา ดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ล 6 5 4 5 1→ 12 →3

487 6 9→ 7

ดงั น้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 เน่ืองจากเศษเหลือเป็ นจานวนลบตอ้ งบวก 9 เพราะฉะน้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 → −4 + 9 = 5 ใชว้ ธิ ีการคดั ออกเกา้ สาหรับคาตอบ 1 6 8 6 2 → 5 แสดงวา่ คาตอบถูกตอ้ ง

แต่ถ้าใช้วธิ ีคดั การออกสิบเอด็ ของตัวต้งั และตัวลบ 65451: 1−5+ 4 −5+ 6 =1

48769 : 9 − 6 + 7 −8 + 4 = 6

ดงั น้นั 65451− 48769:1− 6 = −5 → −5+11= 6

คดั ออกสิบเอด็ สาหรับคาตอบ 16862: 2 −6 +8−6 +1= −1+11=10 นนั่ คือ 6 10

ซึ่งขดั แย้งกับการตรวจยนั ความถูกต้องของวิธีการคัดออกเก้า แสดงว่าคาตอบไม่ถกู ต้อง

ตัวอย่างที่ 3 หาคา่ ของ 35567 −11828 และตรวจสอบผลเฉลยยนั ความถูกตอ้ ง

วธิ ีทา ด้วยวิธีการคัดออกเก้า

35567 การตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง 8 11 8 2 8 −

2

2 3 7 3 9 →6 6

สรุป ใชก้ ารคดั ออกเกา้ ยนั ความถูกตอ้ งเป็นจริง ด้วยวิธีการคัดออกสิบเอด็

35567 35567: 7 − 6 + 5 − 5 + 3 = 4 4 11828: 8 − 2 +8 −1+1 =14 : 4 −1 = 3 − −

11 8 2 8 3

2 3 7 3 9 23739 : 9 − 3+ 7 − 3+ 2 =12 : 2 −1 =1 1

สรุป ใชก้ ารคดั ออกสิบเอด็ ยนั ความถกู ตอ้ งเป็นจริง

19

1.5.3 การตรวจสอบยนั ความถูกต้องสาหรับการคูณ ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 243257 = 62451 ถกู ตอ้ งหรือไม่ วธิ ีทา ด้วยวิธีคัดการออกสิบเอด็ ของตัวต้งั และตัวคูณ

243: 3− 4 + 2 =1

257 : 7 −5 + 2 = 4 ดงั น้นั 243257 :14 = 4

คดั ออกสิบเอด็ ของคาตอบ 62451:1−5+ 4 − 2 + 6 = 4 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง ตัวอย่างท่ี 2 ตรวจสอบวา่ 46723469 =16207168 ถกู ตอ้ งหรือไม่

วิธที า คดั ออกสิบเอด็ ของตวั ต้งั และตวั คณู

4672 : 2 − 7 + 6 − 4 = −3+11 = 8

3469 : 9 − 6 + 4 −3 = 4

ในที่น้ี 46723469 →84 = 32 32: 2 −3 = −1+11 =10 แต่คาตอบ 16207168 :8−6 +1−7 + 0 − 2 + 6 −1= −1+11=10 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง ตวั อย่างท่ี 3 หาค่าของ 876143 และตรวจสอบผลเฉลยยนั ความถกู ตอ้ ง

วธิ ที า วิธีการคัดออกสิบเอด็

87 614 10

33

4 1 8 3 2 = 262842 การตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง 30 : 0 − 3 = −3: −3 +11 = 8

2 2101

ตัวต้งั 87614: 4 −1+ 6 − 7 +8 =10 ตัวคูณ 3

ในที่น้ี 876143 →103 = 30: 0 −3 = −3: −3+11= 8

คาตอบ 262842 : 2 − 4 +8 − 2 + 6 − 2 = 8

ตัวอย่างที่ 4 ผลคณู ของ 9449 = 4606 และตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง

วิธีการคัดออกเก้า วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 94 → 4 ตวั ต้งั 94: 4 −9 = −5 ตวั คณู 49 → 4 ตวั คณู 49: 9 − 4 = 5 คาตอบ 4606 → 7 คาตอบ 4606: 6 −0 + 6 − 4 = 8 ดงั น้นั 44 =16 → 7 ดงั น้นั −55 = −25: −(5 − 2) = −3: −3+11= 8

หรือ 9 4 → 4 94 :4 −9 = −5 → −5 +11 = 6 6    :9−4 = 5 5  49 49 → 4

4606 → 7 16 → 7 4606 : 6−0+6−4=8 30

: 0 − 3 = −3+11 = 8

20

ตวั อย่างท่ี 4 ผลคูณ 504321 =161874 และตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง

วิธีการคดั ออกเกา้ วิธีการคดั ออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 504 → 0 ตวั ต้งั 504: 4 − 0 + 5 = 9 ตวั คูณ 321→ 6 ตวั คูณ 321: 1− 2 + 3 = 2

คาตอบ 161874 → 9 = 0 คาตอบ 161874: 4 − 7 +8 −1+ 6 −1 = 9

ดงั น้นั 06 = 0 → 0 ดงั น้นั 92 =18:8−1= 7 สรุป ผลคณู ไม่ถูกตอ้ ง

ตวั อย่างที่ 5 หาผลคูณของ 84791247  25 และตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง

วธิ ที า เขยี นศนู ยส์ องตวั ท่ีทา้ ยเลข 84791247 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 8479124700

หาร 8479124700 ดว้ ย 4 = 8479124700  4 = 2119781175

ดังน้นั 8479124725 = 2119781175

วิธีการคัดออกเก้า

ตัวต้งั 84791247 → 6

ตวั คูณ 25 → 7

คาตอบ 2119781175 → 6

ดงั น้นั 76 = 42 → 6

วิธีการคัดออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 84791247 : 7 − 4 + 2 −1+ 9 − 7 + 4 −8 = 2 ตวั คณู 25:5− 2 = 3

คาตอบ 2119781175: 5 − 7 +1−1+8 − 7 + 9 −1+1− 2 = 6

ดงั น้นั (2)(3) = 6

ตวั อย่างที่ 6 ผลคูณ 3.953.953.95 = 61.629875 ถูกตอ้ งหรือไม่

วธิ ีการคัดออกเก้า วิธีการคัดออกสิบเอด็

3.953.953.95 → 888 = 512 → 8 3.95: 5 − 9 + 3 = −1

61.629875 → 8 3.953.953.95 : −1 −1 −1 = −1

61.629875 : 5 − 7 +8 −9 + 2 − 6 +1− 6 = −12 :

\= −12 : −12 +11 = −1

21

ตัวอย่างที่ 7 ผลคูณของ 8070605040399999999999 = 8070605040219293949597 ถกู ตอ้ งหรือไม่ วธิ ีการคัดออกเก้า

ตวั ต้งั 80706050403 → 6 คาตอบ = 8070605040219293949597 → 0 ตัวคูณ 99999999999 → 0 ดงั น้นั 60 = 0 → 0 วิธีการคัดออกสิบเอด็

ตวั ต้งั 80706050403: 3− 0 + 4 − 0 + 5 − 0 + 6 − 0 + 7 − 0 +8 = 33: 3−3 = 0 ตัวคูณ 99999999999 : 9 −9 + 9 −9 + 9 −9 + 9 −9 + 9 −9 + 9 = 9 คาตอบ 8070605040219293949597: 7 −9 + 5 −9 + 4 −9 + 3−9 + 2 −9 +1− 2 + 0 − 4 + 0 −5

+0 − 6 + 0 − 7 + 0 −8 = −55 = −(5 −5) = 0 ดังน้นั 09 = 0 1.5.4 การตรวจสอบยันความถกู ต้องสาหรับการหาร

ตวั อย่างท่ี 1 กรณี 671 4 =167 + 3 โดยการใช้วธิ ีการคัดออกสิบเอด็

4

วิธคี ดิ เน่ืองจากการหารเป็นการผกผนั ของการคูณ การยนั ความถูกตอ้ งจึงตอ้ งใชส้ มการข้นั ตอนการหารมาช่วย

กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

LHS = RHS วิธกี ารคัดออกสิบเอด็ สาหรับตวั ต้งั 671: 1−7+6 = 0

สาหรับตวั หาร 4: 4 = 4 สาหรับผลลพั ธ์ 167 : 7 −6+1= 2 สาหรับเศษเหลือ 3: 3

จากสมการข้นั ตอนการหาร RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ = 42 +3 = 8+3 =11:1−1= 0 LHS = ตวั ต้งั = 0 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

กรณี 671 4 =167.75 วธิ ีคดิ กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

LHS = RHS

ใชว้ ธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ สาหรับตวั ต้งั 671: 1− 7+6 = 0

สาหรับตวั หาร 4: 4=4

สาหรับผลลพั ธ์ 167.75: 5− 7+7 − 6 +1= 0

22

จากสมการข้นั ตอนการหาร RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ = 40 = 0 LHS = ตวั ต้งั = 0 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

หรือวิธีทา จาก ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

จากวิธีการคดั ออกสิบเอด็ 1− 7 + 6 = 4(7 − 6 +1) + 3

0 = 4 2 + 3 =11: 0

หรือวธิ ีทา จาก ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

จากวธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ 1− 7 + 6 = 4(5− 7 + 7 − 6 +1) = 40 = 0

ตวั อย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 427424 เม่ือ ผลลพั ธ์ =178 เศษเหลือ 2

วิธีการคดั ออกสิบเอด็

สาหรับตวั ต้งั 4274: 4 − 7 + 2 − 4 = −5+11= 6

สาหรับตวั หาร 24: 4 − 2 = 2

สาหรับผลหาร 178: 8−7 +1= 2

สาหรับเศษเหลือ 2: 2

จากข้ันตอนการหาร

ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

RHS = 22 + 2 = 6 LHS = 6 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

หรือวิธีการคัดออกสิบเอด็ ทาย่อ ๆ ได้ดังนี:้

จากสมการข้นั ตอนการหาร 4274 =178(24) + 2

จากวิธีคดั ออกสิบเอด็ 4 − 7 + 2 − 4 = 8 − 7 +1(4 − 2) + 2

−5 = (2)(2) + 2

แตเ่ ศษตอ้ งเป็นบวก ดงั น้นั −5 +11 = (2)(2) + 2 → 6 = 6

ตวั อย่างท่ี 3 ตรวจสอบวา่ 7352127 เม่ือผลหารเทา่ กบั 2723 เศษเหลือ 0

วิธีทา สมการการหาร 73521 = 2723(27) + 0

จากวิธีการคดั ออกเกา้ 0 = (5)(0) + 0 = 0

จากวิธีการคดั ออกสิบเอด็ 1− 2 + 5−3+ 7 = (3− 2 + 7 − 2)(7 − 2) + 0

8 = (6)(5) + 0 = 30

8 = 0 −3 = −3 แตเ่ ศษตอ้ งเป็ นบวก 8 = −3+11= 8 สรุป ผลคูณถูกตอ้ ง

23

2. การบวก

บทนา

“เวทคณติ เป็นวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยขี องความแม่นยา มี ความเป็นระเบียบอนั รักษาไวซ้ ่ึงเอกลกั ษณ์ของความเป็นหน่ึงเดียว แต่ในขณะเดียวกนั ก็เตม็ ไปดว้ ยความหลากหลาย เวทคณิตคอื พลงั แห่งความสมดุลภาพระหวา่ งสองคณุ สมบตั ิท่ีตรงกนั ขา้ มของความ เป็นหน่ึงเดียวและความหลากหลาย เวทคณิตยงั เป็นโครงสร้างพลวตั ของกฎธรรมชาติที่ออกแบบมาอยา่ ง เป็นปกติวสิ ยั และมีเป้าหมายของกฎธรรมชาติอยา่ งมีระเบียบของอรรถบทของวิวฒั นาการ” ท่านศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sri Bharati Krishna Tirtha ji พ.ศ. 2427-2503)

ผคู้ น้ พบเวทคณิตในพระเวท เวทคณิตสาหรับการบวก (Vedic Mathematics Method for Addition)

การคดิ เลขวธิ ีด้งั เดิมในโรงเรียนท่ีใชก้ นั มายาวนานน้นั ขาดความเร็วอาจจะทาใหน้ ่าเบื่อหน่าย และ ยงั มีความผิดพลาดสูงเพราะการใชว้ ธิ ีการตรวจสอบโดยการทาซ้า ๆ อีกเรื่องหน่ึงคอื การทดเลขจากหลกั หน่ึงไปสู่หลกั หน่ึงน้นั โดยทว่ั ไปแลว้ ในการบวกน้นั เม่ือเราหาผลบวกตวั เลขของแต่ละหลกั ถา้ มีผลลพั ธ์ มากกวา่ หรือเทา่ กบั 10 แลว้ เราตอ้ งทด 1 ใหก้ บั หลกั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ หลกั ท่ีมากกวา่ แลว้ เขียนเฉพาะ หลกั หน่วยที่เป็นผลลพั ธข์ องหลกั น้นั ๆ

นค่ี ือปัญหาทวี่ ธิ คี ิดเลขแบบเวทคณิตพยายามหลกี เลยี่ งการทด ไปยงั หลกั ถดั ไป ใหน้ อ้ ยลง มาก ท่ีสุดและเพ่อื บรรลเุ ป้าหมายใหเ้ กิดการคดิ เลขเร็วและถกู ตอ้ งมากท่ีสุดแลว้ อีกเรื่องหน่ึงที่เวทคณิตยงั ได้ เสนอวธิ ีการบวกเลขท่ีหลากหลาย (Diversity) วธิ ีอีกดว้ ย

จุดเด่นของวิธีคดิ เลขเร็วของของเวทคณิต (Vedic Mathematics) สาหรับการบวกเลขคือเนน้

“การบวกด้วยวิธีใช้จุด” แทนการการทดด้วยหนึง่ (1) เช่นเดียวกบั วธิ ีระบบความเร็วทรัชเท็นเบริก ของคณิตศาสตร์ข้นั พ้นื ฐาน (The Trachtenberg Speed of Basic Mathematics) หรือวธิ ีไฮสปี ด แมท ของ เลสเตอร์ มีเยอร์ช (Lester Meyers High-Speed Math)

ท้งั สามวธิ ีน้ีไดก้ ล่าวถึงเทคนิควธิ ีในการทดท่ีตวั ทดมีค่าเท่ากบั 1 น้นั ท้งั สามวิธีดงั กล่าวขา้ งตน้ น้นั แทน 1 ดว้ ยจุด ( ) และยงั เสนอวิธีการคิดเลขจากซา้ ยไปขวาเพราะมี ขอ้ ไดเ้ ปรียบ กวา่ การคดิ เลข จากขวาไปซา้ ย ในทานองเดียวกนั ท้งั สิ้น

ในทางปฏิบตั ิแลว้ เวทคณิตเสนอ การบวกด้วยวธิ ใี ช้จุด (Addition Using Dot Method) หรือการ บวกเลขดว้ ยวิธีการเพ่ิม 1 กบั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ สามารถไดแ้ กป้ ัญหาเกี่ยวกบั เร่ืองของหน่วย การชง่ั ตวง วดั

การวดั (เช่น หน่วยการวดั กิโลเมตร เมตร เซนติเมตร) หน่วยเงินตรา (บาทและสตางค)์ น้าหนกั (กิโลกรัม-กรัม) ความจุ (ลิตร-มิลลิลิตร) เวลา (ชวั่ โมง นาที วนิ าที) ทศนิยม ดงั ตวั อยา่ งท่ีแสดงเหตุผลวา่ ทาไมจึงใชว้ ิธีการบวกเลข เม่ือมี การทด 1 ให้ใส่จุด ( ) ไวบ้ นตวั เลขหลกั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ดงั น้ี

ตวั อย่างที่ การหาผลบวกน้าหนกั ของ 5 รายการ ดงั ตารางขา้ งล่างน้ี

กิโลกรัม กรัม กิโลกรัม กรัม

112 65 112 065 360 85 → 360 085 289 872 156 345 289 872 231 897 156 345 231 89 7

1150 264

จากตัวอย่างแสดงถงึ การบวกมาตรการชั่ง การวดั ระยะทาง ท่ไี ม่ต้องมกี ารแปลงหน่วย

และเวทคณติ ยังเสนอการคิดเลขด้วยการดาเนินการคิดจากซ้ายไปขวา มเี หตุผลไหม?

ศกุนตลา เทวี (Shakuntala Devi) (4 พฤศจิกายน 1929 – 21 เมษายน 2013) เป็นนกั คณิตศาสตร์

เป็นนกั คานวณในใจ ชาวอินเดีย เธอเป็นท่ีรู้จกั ในช่ือ "มนุษยเ์ คร่ืองคิดเลข" (Human Computer) เธอได้

พยายามในการสร้างใหก้ ารคานวณเลขคณิตใหเ้ ป็นเร่ืองงา่ ย ๆ สาหรับเดก็ นกั เรียน

ด้วยความสามารถของเธอ สามารถคิดเลขหาคาตอบจากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้าย

ท้งั ๆ ที่เธอไม่เคยไดร้ ับการศึกษาในระบบมาก่อน

โอโช (Osho) นกั ปราชญช์ าวอินเดียเป็น ผเู้ ขยี นบทความเก่ียวกบั “ศกุนตลา เทวี”

เรื่องมีอยวู่ า่ “ในอินเดียมีสุภาพสตรีผหู้ น่ึงชื่อวา่ สกุลตาลา เธอไดเ้ ดินทางไปรอบโลกและไดเ้ ยอื น

มหาวิทยาลยั แทบทุกมหาวิทยาลยั เพือ่ สาธิตการใชป้ ัญญาญาณของเธอ เธอมีการศึกษาแคร่ ะดบั มธั ยม

ปลาย และเธอกไ็ ม่ใช่นกั คณิตศาสตร์

ในช่วงท่ีอลั เบิร์ต ไอน์สไตน์ ยงั มีชีวติ อยู่ เธอไดเ้ คยเขา้ ไป

สาธิตเร่ืองน้ีต่อหนา้ ของเขา ดว้ ยการนงั่ อยหู่ นา้ กระดานดาใน

มือถือชอลก์ อยใู่ หค้ นต้งั โจทยอ์ ะไรก็ไดท้ ี่เกี่ยวกบั

คณิตศาสตร์บางคร้ังขณะท่ียงั ไมท่ นั เสร็จ เธอกเ็ ร่ิมเขียนคาตอบลงบนกระดานแลว้

อลั เบิร์ต ไอนส์ ไตน์ ไดม้ อบวฒุ ิบตั รใหก้ บั เธอ และเธอก็เคยโชวว์ ุฒิบตั รน้ีต่อ ท่านโอโช

(Osho-ผเู้ ขยี นบทความ) เมื่อคร้ังท่ีทา่ นโอโช ไดเ้ ดินทางไปยงั เมืองมทั ดราช ซ่ึงเป็นบา้ นเกิดของเธอ

เธอไดน้ าวุฒิบตั รมากมายมาให้ท่านโอโช ดู และหน่ึงใบในท้งั หมดน้นั ก็คอื ใบท่ี ไอนส์ ไตน์ เขียนไวว้ า่

“ขา้ พเจา้ ไดใ้ หส้ ุภาพสตรีท่านน้ีแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ซ่ึงปกติแลว้ ขา้ พเจา้ จะตอ้ งใชเ้ วลาถึง 3 ชว่ั โมง

การลบแบบเวทคณิตมีกี่แบบ

นี่คือ ความคิดของเวทคณิตที่พยายามเปลี่ยนการลบเป็นการบวก ซึ่งจะได้ศึกษาวิธีการลบแบบเวทคณิตดังต่อไป การลบด้วยวิธีการแยกหลักนี้มี 3 วิธี ด้วยกันคือ การลบด้วยสูตรนิขิลัมหรือการลบด้วยสูตรทุกตัวครบเก้าแต่ตัวสุดท้ายครบสิบ หรือในเวทคณิตใช้สูตรนิขิลัม นวตัสจรมัม ทศตหะ เรียกสั้น ๆ ว่าสูตรนิขิลัม (Nikhilam.

การคูณแบบเวทคณิตมีกี่วิธี

การคูณแบบเวทคณิตในเอกสารฉบับนี้ มีวิธีการคูณ 2 วิธี ได้แก่ การคูณแนวตั้งและแนวไขว้ (Urdhva Tiryagbhyam หรือ Vertically and Cross-wise) ซึ่งมีความสัมพันธ์กันกับการคูณโดย การเลื่อนตัวคูณ (Moving Multiplier) จะแตกต่างในรูปแบบของ การเขียนแสดงวิธีทำา และการคูณโดยวิธีเบี่ยงฐาน (Yavadunam หรือ By The Deficiency) นอกจากวิธีการ ...

การหารมีกี่ชนิดอะไรบ้าง

การหาร คือ การทำให้จำนวนลดลงครั้งละเท่าๆ กัน ซึ่งวิธีที่นำมาใช้ในการหาคำตอบ สามารถหาได้หลายวิธี และในวันนี้ครูจะขอนำเสนอวิธีการหารทั้งหมด 3 รูปแบบ ได้แก่ การหารยาว การหารสั้น และการหารแบบเศษส่วน โดยแต่ละวิธีจะมีลำดับขั้นตอนที่ต่างกัน แต่สุดท้ายแล้ว ผลลัพธ์ของทุกวิธีจะมีค่าเท่ากัน ฉะนั้นเราสามารถใช้วิธีใดในการหาคำตอบ ...

การบวกเวทคณิต คืออะไร

การบวกแบบเวทคณิตเป็นการบวกเฉพาะเลขโดด ถ้าผลบวกเกิน 9 จะใช้จุด ( ● ) แทนการทด กากับ ไว้เหนือตัวบวกและทิศทางการบวกจะบวกจากบนลงล่างจนหมดแถว โดยเริ่มจากหลักหน่วย หลักสิบ หลักร้อย หลักพัน ไปเรื่อยๆ จนครบทุกหลัก ตัวอย่างที่ 1 3 + 9 + 5 + 8 =  วิธีคิด