ความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่ม ( random experiment ) คือการทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้องตัวอย่าง การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม
เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6
ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ การขึ้นหัวหรือก้อย
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เมื่อ (H,T) หมายถึงเหรียญอันที่ 1 ขึ้นหัว และเหรียญอันที่ 2
ขึ้นก้อย
เมื่อ 0 หมายถึงไม่ขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน (นั่นคือขึ้นหัวทั้งสองอัน)
1 หมายถึงขึ้นก้อยเพียง 1 อัน (ขึ้นหัว 1 อัน)
2 หมายถึงขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน
เหตุการณ์ ( event ) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ
ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์
คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใดหลักการหาความน่าจะเป็น
ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน E เป็นสับเซตของ Sให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้
ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก
หยิบลูกแก้วจากกล่อง 2 ลูก
เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกแก้วแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา
ดังนั้นเราให้ ข1 , ข2 , ข3 เป็นลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และ ด1 , ด2 เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก
แซมเปิลสเปซ S = { ข1ข2 ,ข1ข3 , ข1ด1 ,ข1ด2, ข2ข3 , ข2ด1 , ข2ด2 , ข3ด1 , ข3ด2 , ด1ด2 }
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกแก้วสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูกเหตุการณ์ A = { ข1ด1 , ข1ด2 , ข2ด1 , ข2ด2 , ข3ด1, ข3ด2 }
ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่ A เรียงเป็นตัวแรก จากการเรียงตัวอักษร 2 ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C
E = { AB , AC }
P(E) =
นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ A เรียงเป็นตัวแรก =
ตัวอย่าง หยิบลูกบอล 2 ลูกจากกล่องซึ่งมีหมายเลข 1 ถึง 5
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ S = { (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3) ,(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) }
E1 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลที่มีหมายเลขเป็นจำนวนคู่ทั้ง 2 ลูก
E1 = { (2,4) }
E2 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคู่
E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }
E3 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคี่
E3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
E4 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งหมายเลขเรียงกัน
E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }
E1 U E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }
P(E1 U E2) =
E1 E2 = { (2,4) }
P(E1 E2) =
E3 U E4 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
P( E3 U E4) =
E3 E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }
P( E3 E4) =
E1 - E2 = { }
P(E1 - E2) = 0
E2 - E1 = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }
P(E2 - E1 ) =
E4 ' = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5)}
P(E4' ) =
E1' E3' = ( E1U E3 )'E1U E 3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }(E1U E3)'= { (1,3) , (1,5) , (3,5) } ดังนั้น E1' E3' = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }P(E1'E3') =
ตัวอย่าง จะจัดนักเรียน 10 คน ซึ่งมีนายสาทิศกับนางสาวสุดาอยู่ด้วย ความน่าจะเป็นที่
ข. นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน
ค. นายสาทิศอยู่หัวแถวและนางสาวสุดาอยู่ท้ายแถว
1) หา n(S) ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ จัดได้ 10! วิธี
หา n(E) Eก นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน จัดได้ ( 9! X 2! )
P(Eก) = =
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน เท่ากับ
2) หา n(E) ให้ Eข นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน จัดได้ 10! - (9! 2!) วิธี
P(Eข) = = 1 - =
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกันเท่ากับ
3) หา n(E) ให้ Eค นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว จัดได้ 1 X 8! X 1 วิธี
P(Eค) = =
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว เท่ากับ
ตัวอย่าง ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 10 ลูกเป็นสีแดง 5 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก ถ้าหยิบลูกบอลอย่างสุ่มออกมา 2 ลูก
ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน
1) หา n(S) คือหาจำนวนวิธีที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการหยิบบอล 2 ลูกจาก 10 ลูก
จำนวนวิธีที่จะเกิดได้ = = 45 วิธี
2) หา n(E) E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน
กรณีที่ 1 สีแดงทั้งคู่ จำนวนวิธี = = 10 วิธี
กรณีที่ 2 สีน้ำเงินทั้งคู่ จำนวนวิธี = = 3 วิธี
กรณีที่ 3 สีเขียวทั้งคู่ จำนวนวิธี = 1 วิธี
n(E) จำนวนวิธีทั้งหมดที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน = 10 + 3 + 1 = 14 วิธี
ความน่าจะเป็นที่ P(E) =
กฎสำคัญบางประการของความน่าจะเป็น
ให้ A เป็นเหตุการณ์ใดๆ และ S เป็นแซมเปิลสเปช สมบัติความน่าจะเป็นของ A ดังนี้1. 0 P(A) 1
2. ถ้า A = { } แล้ว P(A) = 0 นั่นคือ P( { } ) = 0
3. ถ้า A = S แล้ว P(A) = 1 นั่นคือ P( S ) = 1
สมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์
ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ1. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)
2. P(A U B) = P(A) + P(B) เมื่อ A B = { }
3. P(A) = 1 - P(A')
4. P(A-B) = P(A) - P(A B)
ตัวอย่าง กำหนดให้ P(A) = 0.6 P(B') = 0.4 และ P(A - B) = 0.2 จงหา P(A ' B')
จะได้ว่า P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0.4 = 0.6
จาก P(A) = 0.6 และ P(A - B) = 0.2
เนื่องจาก P(A) = P(A - B) + P(A B)
( ถ้านักเรียนไม่เข้าใจให้เขียนแผนภาพทางด้านเซตดู )
0.6 = 0.2 + P(A B)
P(A B) = 0.4
เนื่องจาก P(A' B') = P( A U B)'
= 1 - P(A U B)
จากสมบัติความน่าจะเป็น P(A' B') = 1 - [ P(A) + P(B) - P(A B) ]
= 1 - [ 0.6 + 0.6 - 0.4] = 1 - 0.8 = 0.2
ตัวอย่าง จากการสำรวจในหมู่บ้านหนึ่ง ได้ผลว่าความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ทำสวนยางเท่ากับ 0.5
ความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ขุดบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.7 และความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ทำสวนยาง
และมีบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.3 ถ้าเลือกครอบครัวขึ้นมา 1 ครอบครัวอย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นของ
ครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยาง ดังนั้น P(A) = 0.5
B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวขุดบ่อเลี้ยงปลา ดังนั้น P(B) = 0.7
A B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยางและขุดบ่อเลี้ยงปลา
P(A B) = 0.3
= 0.5 + 0.7 - 0.3 = 0.9
ความน่าจะเป็นของครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา เท่ากับ 0.9
ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข
บางครั้งเราทราบว่าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เรียกความน่าจะเป็นแบบนี้ว่า ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไขให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที่ P(B) > 0 เขียน P(A/B) แทนความน่าจะเป็นของ A เมื่อกำหนดว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว
และให้ P(A/B) =ถ้า P(B) = 0 ให้ P(A/B) = 0
ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหน้าน้อยกว่า 4 ถ้ารู้แล้วว่าขึ้นหน้าเลขคี่
A แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าน้อยกว่า 4
A B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าเลขคี่ และน้อยกว่า 4
P(B) = =
เนื่องจากมี 1 และ 3 เท่านั้นที่เป็นเลขคี่ และน้อยกว่า 4
ดังนั้น P(A B) =
เพราะฉะนั้น P(A/B) ===
ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 3 ใบ และสีดำ 2 ใบ ถ้าหยิบลูกแรกแล้วไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินสีดำทั้งสองลูก
วิธีที่ 1 หยิบครั้งแรกมีวิธีเลือกได้ 5 วิธี ครั้งที่สองมีวิธีเลือก 4 วิธี
หยิบลูกหินสีดำครั้งแรกมี 2 วิธี ครั้งที่สองมี 1 วิธี
ดังนั้น มีวิธีเลือกทั้งหมด 2 X 1 = 2 วิธี
ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินดำทั้งคู่ โดยที่หยิบครั้งแรกแล้วไม่ใส่คืน เท่ากับ
วิธีที่ 2 ให้
A เป็นเหตุการณ์หยิบลูกหินลูกแรกสีดำ และ
P(A) = = P(B/A) = = ดังนั้น P( B) = P(A) P(B/A)= () () =
ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้น 4 , 5 หรือ 6
ในการทอดครั้งแรกและขึ้น 1 , 2, 3 หรือ 4 ในการทอดครั้งที่ 2
วิธีที่ 1 ให้ A เป็นเหตุการณ์ ซึ่งทอดลูกเต๋าครั้งแรก ขึ้น 4 , 5 หรือ 6
ทอดครั้งแรกมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี ทอดครั้งที่สองมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี
ดังนั้น มีวิธีเกิดได้ทั้งหมด 6 X 6 = 36 วิธี
ทอดครั้งแรกได้เหตุการณ์ A มี 3 วิธี ทอดครั้งที่สองได้เหตุการณ์ B มี 4 วิธี
ดังนั้นทอดได้เหตุการณ์ A และ B มี 3 X 4 = 12 วิธี
เพราะฉะนั้น P(A B) = =
วิธีที่ 2 P(A) =
P(B/A) = P(B) =
P(A B) = P(A) P(B/A)
= () () =
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน
พิจารณาในการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง จะเห็นว่าการที่การโยนเหรียญครั้งหนึ่งขึ้นหัวหรือก้อย
ไม่มีผลต่อการขึ้นหัวหรือก้อยในการโยนครั้งที่สอง
เรากล่าวว่าการโยนทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน
นิยาม เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A B) = P(A) P(B)
ทฤษฎีบท เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A/B) = P(A)
ตัวอย่าง โยนลูกเต๋า 2 ลูก 2 ครั้ง จงหาความจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเท่ากับ 5
B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 2 เป็น 5
จะได้ P(A) ==
และ P(B) ==
เนื่องจากการโยนลูกเต๋าแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเป็น 5 เท่ากับ
P(A B) = P(A) P(B)
= X =
ตัวอย่าง ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ และลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวและลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 3
B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 3
จะได้ P(A) = และ P(B) = =
เนื่องจากการขึ้นของเหรียญและของลูกเต๋าเป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้น P(A B) = P(A) P(B)
= x =
เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวและลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 3 เท่ากับ
วิดีโอ YouTube
ที่มา : //www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/mathonline/learn/seventh.html