เลขยกกำลัง [ Exponent ]
Chaturaphakphimanratchadaphisak School
เมนู
- หน้าแรก
- สมบัติเลขยกกำลัง
- หลักการทำข้อสอบเกี่ยวกับเลขยกกำลัง
- หลักการเรียนที่ดี
- หลักการทำการบ้านและทบทวนบทเรียน
- เลขยกกำลังคืออะไร?
- แนะนำ Blog
- แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง
- แบบทดสอบระดับประถมศึกษา
- แบบทดสอบระดับมัธยมศึกษาตอนต้น
- แบบทดสอบระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
- โครงงานเรื่อง ความน่าจะเป็นของการเล่นการพนันเบี้ยโบก
- ส่วนหน้าโครงงาน
- บทที่ 1
- บทที่ 2
- บทที่ 3
- บทที่ 4
- บทที่ 5
- ส่วนท้ายโครงงาน
- แผ่นพับ
- ประวัติผู้จัดทำ
- Profile
- About
- แนะนำการสร้างโครงงานออนไลน์
- การสร้าง Link
- วิธีการสมัครใช้งาน
- การปรับแต่ง WordPress เบี้องต้น
- การจัดการธีม
- ความแตกต่างของ Pages และ Post
- การจัดการ Widgets
- การใส่วีดิโอ
- โครงงานคณิตศาสตร์ออนไลน์เรื่อง เลขยกกำลัง
- ส่วนหน้า
- บทที่ 1
- บทที่ 2
- บทที่ 3
- บทที่ 4
- บทที่ 5
- ส่วนท้าย
โครงงานเรื่อง ความน่าจะเป็นของการเล่นการพนันเบี้ยโบก
- โครงงานคณิตศาสตร์ \”ความน่าจะเป็นกับเกมโชว์\”
- วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 เรื่อง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
- รศ.ดร. รงค์_อภิปรายเรื่องการจัดการลุ่มน้ำ
- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
- โครงงานวิทยาศาสตร์ (Science project) การฝึกคิดหัวข้อ หรือปัญหาในการทำโครงงาน🍒🌵
โครงงานคณิตศาสตร์ \”ความน่าจะเป็นกับเกมโชว์\”
นอกจากการดูบทความนี้แล้ว คุณยังสามารถดูข้อมูลที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกมากมายที่เราให้ไว้ที่นี่: ดูเพิ่มเติม
หวัดนิดๆนะครับนะ @โรงเรียนสตรีทุ่งสง วันที่ 14 มิถุนายน 2558
(ดูไปยังนึกเลย \”อิเชี่ย
กูกล้าพูดไปได้ไง\”)
วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 เรื่อง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
สำหรับนักเรียนชั้น ป.5 ม.6 ทุกคนที่ต้องการเรียนวิชาภาษาอังกฤษ ภาษาไทย และคณิตศาสตร์
นักเรียนสามารถทำแบบฝึกหัด และทำแบบทดสอบได้จาก เว็บไซต์ หรือแอปพลิเคชันของเรา
Web: //nockacademy.com/learn/
iOS:
//apple.co/2SKdksn
Android: //bit.ly/2REzb7w
●สำหรับผู้ปกครองท่านใดที่สนใจ●
//nockacademy.com
●สำหรับโรงเรียนใดที่สนใจ●
//nockacademy.com/forschool/
รศ.ดร. รงค์_อภิปรายเรื่องการจัดการลุ่มน้ำ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
โครงงานวิทยาศาสตร์ (Science project) การฝึกคิดหัวข้อ หรือปัญหาในการทำโครงงาน🍒🌵
science biojill
นอกจากการดูหัวข้อนี้แล้ว คุณยังสามารถเข้าถึงบทวิจารณ์ดีๆ อื่นๆ อีกมากมายได้ที่นี่: ดูบทความเพิ่มเติมในหมวดหมู่Image
เอกสารที่เกี่ยวข้อง
โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็นในร้านเสี่ยงโชค
โครงงานเกมส์ลูกเต๋าสามลูก
ชื่อผู้ทำโครงงาน
1. นายอนุสรณ์ สันทอง ม.5/3
2. นายพินิจ แก้วขอนแก่น ม. 5/3
3. นายนภา กฤษวงศ์ ม.5/3
โรงเรียนบรรหารแจ่มใสวิทยา
6 อำเภอสามชุก จังหวัดสุพรรณบุรี
ปีการศึกษา 2547
ที่ปรึกษาโครงงาน
1. นายวศิน เกิดดี
2. เซียนแดง (
ขอสงวนชื่อจริง )
บทคัดย่อ
ในสังคมไทยการเล่นการพนันเเป็นสิ่งผิดกฎหมาย
แต่การลักลอบเล่นการพนันก็ยังไม่หายไปจากสังคมไทย มีลักลอบเล่นการพนันอยู่
เล่นได้เสียก็มีความเดือดร้อนทั้งทางสังคม เศรฐกิจ ครอบครัว
เดือดร้อนทั้งตนเองและครอบครัวมีตัวอย่างให้เห็นอยู่เนืองๆการเล่นเกมส์ชนิดนี้ภาษาพื้นบ้าน
เรียกว่า ไฮโล เกมส์นี้มีส่วนเบื้องลึกและธรรมชาติเป็นอย่างไรน้อยคนนักที่ได้ศึกษา
ทางคณะจึงศึกษาเกมส์ ไฮโล เพื่อศึกษา ธรรมชาติของเกมส์ความได้เปรียบเสียเปรียบของการจ่ายเงินรางวัล
โดยศึกษา พูดคุยเก็บข้อมูล เปรียบเทียบ
จากการพูดคุยสอบถามจากเซียนพนัน ไฮโล
ทางคณะผู้ทำโครงงานได้ข้อคิดจากเซียนพนัน ข้อสำคัญน่าจะจดจำไว้ว่า
การเล่นการพนันมีได้มีเสียหากอยากเล่นได้อย่างเดียว
ต้องโกงเท่านั้น แต่อาจได้อย่างอื่นแทน
ที่มาและความสำคัญของโครงงาน
คนไทยบางคนชอบความท้าทาย
ชอบลุ้น ชอบเสี่ยงโชค ไฮโลตอบสนอง
พฤษติกรรมดังกล่าวได้ดีเลยทีเดียว
แต่หากรู้ธรรมชาติ และความน่าจะเป็น
ความได้เปรียบเสียเปรียบการจ่ายเงินรางวัลอาจจะเลิกเล่นหรือเป็นเซียนไปเลยก็ได้
แต่ทางคณะสนใจ
มาก
ซึ่งอาจจะมีผู้เคยศึกษามาบ้างแล้ว
แต่โครงงานนี้อาจศึกษาในส่วนประเด็นสำคัญไม่เหมือนกันและอาจเป็นประเด็นที่น่าสนใจกว่า
แต่ที่แน่ ๆทางคณะสนใจมาก
ถ้าหากเป็นการซ้ำทางคณะก็ถือว่าเป็นการทำซ้าเพื่อตรวจสอบผล
จุดมุ่งหมายของการศึกษาค้นคว้า
-
เขียนผลของการทดลองสุ่มทั้งหมด
-
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สนใจ
-
เปรียบเทียบความน่าจะเป็นกับการจ่ายเงินรางวัล
- สอบถามข้อมูลจากเซียนไฮโลเปรียบเทียบ
วิธีการดำเนินการ
วัสดุอุปกรณ์
ลูกเต๋า 3 ลูก
แผงไฮโล
วิธีดำเนินการ
1.
ทดลองสุ่มแล้วเขียนผลของการทดลองสุ่มทั้งหมดของการทอดลูกเต๋า 3 ลูก 1 ครั้ง
มี 216
วิธี
111 112
113 114 115
116
121 122
123 124 125
126
131 132
133 134 135
136
141 142
143 144 145
146
151 152
153 154 155
156
164 162
163 164 165
166
211 212
213 214 215
216
221 222
223 224 225
226
231 232
233 234 235
236
241 242
243 244 245
246
251 252
253 254 255
256
261 262
263 264 265
266
311 312
313 314 315 316
321 322 323 324
325
326
331 332 333
334 335 336
341 342
343 344 345 346
351 352
353 354 355
356
361 362
363 364 365
366
411 412 413 414 415 416
421 422 423 424 425 426
431 432 433 434 435
436
441 442 443 444 445
446
451 452
453 454 455
456
461 462
463 464 465
466
511 512
513 514 515
516
521 522
523 524 525
526
531 532
533 534
535
536
541 542
543 544 545
546
551 552
553 554 555
556
561 562
563 564 565-
566
611 612
613 614 615
616
621 622
623 624 625
626
631 632
633 634 635
636
641 642
643 644 645
646
651 652
653 654 655
656
661 662
663 664 665
666
แยกกลุ่ม
ของเหตุการณ์เป็นสามกลุ่มใหญ่
1. ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าเท่ากับ 11 มีจำนวน 27
เหตุการณ์
2. ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าต่ำกว่า 11 มีจำนวน
108 เหตุการณ์
3. ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าสูงกว่า 11
มีจำนวน 81
เหตุการณ์
ผลการศึกษาค้นคว้า
เหตุการณ์ | จำนวนเหตุการณ์ | ความน่าจะเป็น | เปอร์เซนต์ | เงินรางวัล (ต่อ) | เจ้ามือ ได้เปรียบ | ผู้เล่น ได้เปรียบ |
11 | 27 | 0.12 | 12 | 5 | / | |
ต่ำ | 108 | 0.5 | 50 | 1 | / | / |
สูง | 81 | 0.37 | 37 | 1 | / | |
1 ต่ำ | 108 | 0.5 | 50 | 2 | / | |
2 | 59 | 0.27 | 27 | 2 | / | |
3 | 50 | 0.23 | 23 | 3 | / | |
4 | 37 | 0.17 | 17 | 4 | / | |
5 | 29 | 0.13 | 13 | 5 | / | |
6 | 18 | 0.08 | 8 | 5 | / | |
1 | 8 | 0.03 | 3 | 11 | / | |
2 | 17 | 0.08 | 8 | 5 | / | |
3 | 23 | 0.11 | 11 | 4 | / | |
4 | 33 | 0.15 | 15 | 2 | / | |
5 | 44 | 0.20 | 20 | 2 | / | |
6 | 61 | 0.28 | 28 | 2 | / | |
เป๋า | 6 | 0.03 | 3 | 3 | / | |
เต็ง | 6 | 0.03 | 3 | 1 | / | |
โต้ด | 15 | 0.07 | 7 | 5 | / |
สรุปและข้อเสนอแนะ
จากตารางพบว่า
โอกาสออกสูงน้อยกว่าต่ำ โอกาสออกต่ำมี ร้อยละ 50
โอกาสออกสูงร้อยละ
38 หากทอดลูกเต๋า หลบไม่ให้ออกต่ำไม่ได้ อาจโดนทุ่ม
จะเห็นว่าการเล่นไฮโลเป็นการใช้ฝีมือไม่ใช่เป็นการเสี่ยงโชคชะตาตามความน่าจะเป็น เกมส์ไฮโลเป็นสิ่งผิดกฎหมาย
เจ้ามือได้เปรียบผู้เล่นดังจากตารางวิเคราะห์ความน่าจะเป็นเจ้ามือจ่ายเงินรางวัล
น้อยกว่าความน่าจะเป็น
จากการวิเคราะห์หากใครเสี่ยงดวงย่อมมีแต่เสียเงิน
สรุปไม่ควรหัดเล่นเกมส์การพนันไฮโล
ขอขอบคุณ
อาจารย์
วศิน เกิดดี ให้ความรู้เรื่องการนับและความน่าจะเป็นตลอดจนเซียนแดงให้ข้อมูลเรื่องเกมส์การเล่น
เอกสารอ้างอิง
ชัยศักดิ์ ลีลาจรัสกุล การเขียนรายงานโครงงาน หน้า 103 สถาบันพัฒนาคุณภาพวิชาการ
(พว.)
แบบประเมินโครงงานคณิตศาสตร์
ปีการศึกษา.............................
ให้วงกลมล้อมรอบคะแนนที่ท่านเห็นว่าเหมาะสมในตารางข้างล่างนี้
ลำดับที่ | ชื่อโครงงาน | ความรู้ความเข้าใจในเรื่องที่ทำ | การใช้วิธีการทางวิทยาศาสตร์ | ความคิดสร้างสรรค์ | การเขียนรายงาน | จัดแสดงโครงงานอธิบายปากเปล่า | คะแนนรวม |
1 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
2 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
3 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
4 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
5 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
6 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
7 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
8 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
9 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | ||
10 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 | 12345 |
ลงชื่อ.............................................................
ผู้ประเมินโครงงาน
school.obec.go.th/banharn6/wasinkng.doc
โครงงานคณิตศาสตร์
เรื่อง
ความน่าจะเป็น
โดย
กลุ่ม Slowly ชั้น ม.5/4
ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2551
ครูที่ปรึกษาโครงงาน นายสมบัติ สัณหรัติ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
คำนำ
การเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ที่มุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้ในวิชาคณิตศาสตร์จากการเรียนในห้องเรียนเพียงอย่างเดียว ทำให้นักเรียนมีความคิดเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์ว่า
วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เน้นทฤษฏี หลักการ และเนื้อหาเท่านั้น ซึ่งมีผลทำให้นักเรียนไม่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์
ในการจัดทำโครงงานนี้เป็นการใช้คณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานในการทำโครงงานเป้นการผสมผสานวิชาคณิตศาสตร์ กระบวนการคิด การจัดการอย่างสมดุลกับหลักการอื่นๆเข้าด้วยกัน
ทำให้เกิดสิ่งแปลกใหม่ น่าสนใจและน่าศึกษาค้นคว้าตลอดจนนำสิ่งรอบตัวมาประยุกต์เข้ากับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งโครงงานนี้จัดทำขึ้นโดยอาศัยหลักความน่าจะเป็นที่เกิดในชีวิตประจำวันของเรา จึงเกิดความรู้ ได้รับประสบการณ์ที่แปลกใหม่ และสอดคล้องกับความสนใจของผู้จัดทำ
ผู้จัดทำหวังว่าโครงงานคณิตศาสตร์นี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้สนใจและผู้ที่ต้องการจะศึกษาค้นคว้าทุกท่านด้วยคะ
Slowly
สารบัญ
เรื่อง หน้า
คำนำ
1. บทคัดย่อ 1-2
2. เนื้อหาโครงงาน
- ความเป็นมา 3
- วัตถุประสงค์ 3
- กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง 3
- ผลการศึกษา 4-8
3. สรุปผลและอภิปรายผล 8
บรรณานุกรม 9
ภาคผนวก 10
แบบประเมิน 11-13
บทคัดย่อ
ชื่อโครงงาน ความน่าจะเป็น
ความเป็นมา
ความน่าจะเป็น เป็นอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ เมื่อแต่ละผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน กลุ่ม Slowly สนใจเรื่องความน่าจะเป็นเพราะสามารถนำมาใช้ในชีวิตประจำวันได้ โครงงานจึงได้เกิดขึ้น
จุดประสงค์
1. อธิบายหลักการและทฤษฏีความน่าจะเป็นได้
2. นำความรู้เรื่องความน่าจะเป็นไปใช้ในชีวิตประจำวันได้
กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง
1. กลุ่มสาระคณิตศาสตร์ การคิดคำนวณความน่าจะเป็น
2. กล่มสาระภาษาไทย การใช้ภาษาในการสื่อสาร
3. กลุ่มสาระศิลปะ ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
วิธีการดำเนินงาน
1. คณะทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนแล้วทำโครงงาน (ตัวร่างของบทคัดย่อ) เสนอต่อครูที่ปรึกษาโครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง
2. คณะทำงานเก็บรวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องจากแหล่งข้อมูลต่างๆ เช่น ห้องสมุด วารสาร สื่อและสิ่งพิมพ์ รวมทั้งข้อมูลทางอินเตอร์เน็ต
3. คณะทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ แล้วจัดสรรข้อมูลมาเรียงลำดับความสำคัญ จำแนก และวิเคราะห์ผลการศึกษา
4. คณะทำงานจัดพิมพ์ตัวร่างโครงงานและสื่อประกอบต่างๆ นำเสนอครูที่ปรึกษาโครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้องอีกครั้ง
5. คณะทำงานนำเสนอผลการศึกษาโครงงานต่อที่ประชุมในห้อง เพื่อให้ผู้ชมสอบถามและตอบข้อซักถามความคิดเห็นเป็นที่ประจักษ์ พร้อมกับประเมินผลการทำงานของคณะทำงาน
6. คณะทำงานทำรูปเล่มเอกสารส่งครู ที่ปรึกษาโครงงานเพื่อเป็น ตัวอย่างของการศึกษาต่อไป
ผลการศึกษา
1. จากการศึกษา เกี่ยวกับการทดลองสุ่ม เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์ได้อย่างสมเหตุสมผล
2. ใช้ความรู้เกี่ยวกับสถิติในการพิจารณาข้อมูลข่าวสารทางสถิติ และใช้ความรู้เกี่ยวกับ
ความน่าจะเป็น ประกอบการตัดสินใจในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้
สรุปผล
จากการค้นคว้าและรวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับการใช้ความน่าจะเป็นในการสุ่มเหตุการณ์มีผลดังนี้
1. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จากการทดลองสุ่มที่ผลแต่ละตัวมีโอกาสที่จะเกิด
ขึ้นเท่า ๆ กันได้
2. ใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์ได้อย่างสมเหตุสมผล
3. ใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นประกอบการตัดสินใจได้
เนื้อหาโครงงาน
ชื่อโครงงาน ความน่าจะเป็น
ความเป็นมา
ความน่าจะเป็น เป็นอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ เมื่อแต่ละผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน กลุ่ม Slowly สนใจเรื่องความน่าจะเป็นเพราะสามารถนำมาใช้ในชีวิตประจำวันได้ โครงงานจึงได้เกิดขึ้น
จุดประสงค์
1. อธิบายหลักการและทฤษฏีความน่าจะเป็นได้
2. นำความรู้เรื่องความน่าจะเป็นไปใช้ในชีวิตประจำวันได้
กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง
1. กลุ่มสาระคณิตศาสตร์ การคิดคำนวณความน่าจะเป็น
2. กล่มสาระภาษาไทย การใช้ภาษาในการสื่อสาร
3. กลุ่มสาระศิลปะ ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
วิธีการดำเนินงาน
1. คณะทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนแล้วทำโครงงาน (ตัวร่างของบทคัดย่อ) เสนอต่อครูที่ปรึกษาโครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง
2. คณะทำงานเก็บรวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องจากแหล่งข้อมูลต่างๆ เช่น ห้องสมุด วารสาร สื่อและสิ่งพิมพ์ รวมทั้งข้อมูลทางอินเตอร์เน็ต
3. คณะทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ แล้วจัดสรรข้อมูลมาเรียงลำดับความสำคัญ จำแนก และวิเคราะห์ผลการศึกษา
4. คณะทำงานจัดพิมพ์ตัวร่างโครงงานและสื่อประกอบต่างๆ นำเสนอครูที่ปรึกษาโครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้องอีกครั้ง
5. คณะทำงานนำเสนอผลการศึกษาโครงงานต่อที่ประชุมในห้อง เพื่อให้ผู้ชมสอบถามและตอบข้อซักถามความคิดเห็นเป็นที่ประจักษ์ พร้อมกับประเมินผลการทำงานของคณะทำงาน
6. คณะทำงานทำรูปเล่มเอกสารส่งครู ที่ปรึกษาโครงงานเพื่อเป็น ตัวอย่างของการศึกษาต่อไป
ตารางดำเนินการ
ในเดือนปี | รายการ | ผู้รับผิดชอบ |
30 มิ.ย.51 | 1. ประชุมเพื่อเสนอบทคัดย่อ | คณะทำงาน |
16 ก.ค.51 | 2. เก็บรวบรวมข้อมูลจากแหล่ง - อินเตอร์เน็ต - สื่อ , สิ่งพิมพ์ | น.ส. ภาวินี เมธาสุทธิวัตน์ น.ส. ปารณีย์ ชื่นภักดี น.ส. เวธกา อื้อมงคลกุน |
21 ก.ค.51 | 3. ประชุมเพื่อวิเคราะห์ข้อมูลและผลการศึกษา | คณะทำงาน |
25 ก.ค.51 | 4. จัดพิมพ์โครงร่างนำเสนอครู | นส. ภาวินี เมธาสุทธิวัตน์ |
20 ส.ค.51 | 5. นำเสนอโครงงานต่อที่ประชุม - หัวข้อที่ 1 บทคัดย่อ - หัวข้อที่ 2 เนื้อหาโครงงาน - หัวข้อที่ 3 สรุปผลและอภิปรายผล | น.ส. เวธกา อื้อมงคลกุน น.ส. ปารณีย์ ชื่นภักดี น.ส. อัมรัตน์ เลิศประสิทธิ์น.ส. จีราพร ต๊ะมาสี น.ส. ภาวินี เมธาสุทธิวัตน์ น.ส. วิภาวี กาลรา |
22 ส.ค.51 | 6. จัดทำรูปเล่มเอกสารส่งครู | คณะทำงาน |
ผลการศึกษา
1. จากการศึกษา เกี่ยวกับการทดลองสุ่ม เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์ได้อย่างสมเหตุสมผล
2. ใช้ความรู้เกี่ยวกับสถิติในการพิจารณาข้อมูลข่าวสารทางสถิติ และใช้ความรู้เกี่ยวกับ
ความน่าจะเป็น ประกอบการตัดสินใจในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้
ตัวอย่างที่ 1 การหาเหตุการณ์ที่หยิบลูกปิงปอง ลูกที่ 2 เป็นสีขาว หรือสีน้ำเงิน จากการหยิบลูกปิงปอง 2 ลูกทีละลูกและไม่ใส่คืน
เหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น ได้แก่ (ข, น), (ด, ข), (ด, น), (ส, ข), (ส, น) , (น, ข)
มีทั้งหมด 6 เหตุการณ์
ตัวอย่างที่ 2 ครอบครัวหนึ่งต้องการมีบุตร 2 คน ครอบครัวนั้นจะมีบุตรเป็นเพศใดบ้าง
ใช้ แผนภาพต้นไม้ แสดงเพศของบุตรของครอบครัวนี้
กำหนดให้ ช แทน ลูกชาย
ญ แทน ลูกสาว
ดังนั้นผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นกับเพศของลูกทั้ง 2 คน ของครอบครัวนี้
ตามลำดับที่เกิดได้ 4 แบบ คือ (ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช), (ญ, ญ)
ตัวอย่างที่ 3 เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองจะหงายแต้มรวมกันได้มากกว่า 5 จากการทอดลูกเต๋าพร้อมกัน 2 ลูก 1 ครั้ง เหตุการณ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น ได้แก่
(1, 5), (1, 6) , (2, 4) , (2, 5), (2, 6), (3, 3),(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4),(4, 5),
(4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),(5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4),(6, 5), (6, 6)
มีทั้งหมด 26 เหตุการณ์
ตัวอย่างที่ 4 การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะออกหัว
อย่างน้อย 1 ครั้ง
การหาผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง อาจใช้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้
จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 4 แบบ
คือ (H, H), (H, T), (T, H), (T, T)
เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มีผลลัพธ์ 3 แบบ คือ (H, H), (H, T), (T, H)
ตัวอย่างที่ 5 ถุงใบหนึ่งมีลูกปิงปอง 5 ลูก เป็นลูกปิงปอง สีขาว 2 ลูก สีส้ม 2 ลูก สีแดง 1 ลูก สุ่มหยิบลูกปิงปองขึ้นมา 2 ลูก ให้ได้ลูกปิงปองสีขาวอย่างน้อย 1 ลูก
.
ให้ ข1 แทน ลูกปิงปองสีขาวลูกที่ 1
ข2 แทน ลูกปิงปองสีขาวลูกที่ 2
ส1 แทน ลูกปิงปองสีส้มลูกที่ 1
ส2 แทน ลูกปิงปองสีส้มลูกที่ 2
ด แทน ลูกปิงปองสีแดง
จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 10 แบบ คือ (ข1, ข2),
(ข1, ส1), (ข1, ส2), (ข1, ด), (ข2, ส1) , (ข2, ส2), (ข2 ,ด), (ส1, ส2), (ส1, ด), (ส2 ,ด)
เหตุการณ์ที่สุ่มหยิบลูกปิงปองขึ้นมา 2 ลูก ให้ได้ลูกปิงปองสีขาวอย่างน้อย 1 ลูก มีผลลัพธ์ 7 แบบ คือ (ข1, ข2), (ข1, ส1), (ข1, ส2), (ข1, ด), (ข2, ส1), (ข2, ส2), (ข2, ด)
ตัวอย่างที่ 6 สาวสวยต้องการแต่งตัวไปเที่ยวแต่เธอไม่รู้ว่าจะแต่งอย่างไรดี เพราะมีเสื้อผ้ามากมาย หญิงสาวจะแต่งตัวแบบใดได้บ้าง และกี่แบบโดยที่ไม่ซ้ำกัน
เสื้อเชิ้ตดำ = ด เสื้อเชิ้ตขาว = ข กระโปรงน้ำเงิน = น
รองเท้าเปิดส้น = ป รองเท้าหุ้มส้น = ห กางเกงยีนส์ = ย
สาวสวยจะแต่งตัวได้ดังนี้
ชุดที่ | เสื้อ | กระโปรง | กางเกง | รองเท้า |
1 2 3 4 5 6 7 8 | เชิ้ตดำ เชิ้ตดำ เชิ้ตดำ เชิ้ตดำ เชิ้ตขาว เชิ้ตขาว เชิ้ตขาว เชิ้ตขาว | น้ำเงิน น้ำเงิน - - น้ำเงิน น้ำเงิน - - | - - ยีนส์ ยีนส์ - - ยีนส์ ยีนส์ | เปิดส้น หุ้มส้น เปิดส้น หุ้มส้น เปิดส้น หุ้มส้น เปิดส้น หุ้มส้น |
สาวสวยสามารถแต่งตัวได้ 8 แบบ
(ด,น,ป),(ด,น,ห),(ด,ย,ป),(ด,ย,ห),(ข,น,ป),(ข,น,ห),(ข,ย,ป),(ข,ย,ห)
ตัวอย่างที่ 7 การเป่ายิ้งฉุบของ มะลิ กับ ศิตา เหตุการณ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น ได้แก่
ให้ ค แทน ค้อน , ก แทน กรรไกร , ด แทน กระดาษ
มะลิ | ศิตา |
ค้อน | ค้อน |
ค้อน | กรรไกร |
ค้อน | กระดาษ |
กรรไกร | ค้อน |
กรรไกร | กรรไกร |
กรรไกร | กระดาษ |
กระดาษ | ค้อน |
กระดาษ | กรรไกร |
กระดาษ | กระดาษ |
ผลลัพธ์ทั้งหมด มี 9 แบบคือ
(ค, ค) , (ค, ก) , (ค, ด) , (ก, ค) , (ก, ก) , (ก, ด) , (ด, ค) , (ด, ก) , (ด, ด)
เหตุการณ์ที่มะลิจะมีโอกาสชนะ ศิตา มี 3 แบบ คือ (ค, ก), (ก, ด), (ด, ค)
ตัวอย่างที่ 8 เด็กคนหนึ่งอยากกินไอศกรีมแต่สามารถเลือกได้ 2 รสต่อหนึ่งโคน เด็กคนนี้จะเลือกไอศกรีมได้กี่วิธี
ให้ ช็อคโกแล็ต แทนด้วย ช
สตอเบอรี่ แทนด้วย ส
วานิลา แทนด้วย ว
(ช, ส),(ช, ว),(ส, ว)
มีทั้งหมด 3 วิธี
สรุปผลและอภิปรายผล
จากการค้นคว้าและรวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับการใช้ความน่าจะเป็นในการสุ่มเหตุการณ์มีผลดังนี้
1. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จากการทดลองสุ่มที่ผลแต่ละตัวมีโอกาสที่จะเกิด
ขึ้นเท่า ๆ กันได้
2. ใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์ได้อย่างสมเหตุสมผล
3. ใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นประกอบการตัดสินใจได้
บรรณานุกรม
- www.cpb.ac.th/math/curriculum.doc.
ด.ญ.กุลพิชฌา บำรุงภักดิ์ ม.2/13 เลขที่14
เรื่องความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่ม ( random experiment ) คือการทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง
ตัวอย่าง การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ
ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม
เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ
6
แซมเปิลสเปซ ( sample space ) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ การขึ้นหัวหรือก้อย
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
เมื่อ (H,T) หมายถึงเหรียญอันที่ 1 ขึ้นหัว และเหรียญอันที่ 2 ขึ้นก้อย
ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ จำนวนก้อยที่ขึ้น จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {
0 , 1 , 2 }
เมื่อ 0 หมายถึงไม่ขึ้นก้อยทั้ง
2
อัน (นั่นคือขึ้นหัวทั้งสองอัน)
1 หมายถึงขึ้นก้อยเพียง
1 อัน (ขึ้นหัว 1 อัน)
2 หมายถึงขึ้นก้อยทั้ง
2 อัน
เหตุการณ์ ( event ) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ
ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์
คือ
โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใด
หลักการหาความน่าจะเป็น
ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ
ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน
E
เป็นสับเซตของ S
ให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้
ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีขาว
3 ลูก สีแดง 2 ลูก
หยิบลูกแก้วจากกล่อง 2
ลูก
จงหาเหตุการณ์ที่จะได้ลูกแก้วสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก
เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกแก้วแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา
ดังนั้นเราให้ ข1 , ข2 ,
ข3 เป็นลูกแก้วสีขาว 3
ลูก และ ด1 , ด2 เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก
แซมเปิลสเปซ S = { ข1ข2 ,ข1ข3 ,
ข1ด1 ,ข1ด2, ข2ข3 ,
ข2ด1 , ข2ด2 , ข3ด1 ,
ข3ด2 , ด1ด2 }
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกแก้วสีขาว
1 ลูก และสีแดง 1 ลูก
เหตุการณ์ A = { ข1ด1 , ข1ด2 , ข2ด1 , ข2ด2 , ข3ด1, ข3ด2 }
ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่
A เรียงเป็นตัวแรก จากการเรียงตัวอักษร 2
ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C
S = { AB , BA , AC , CA , BC , CB
}
E = { AB , AC }
P(E) =
นั่นคือ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ A เรียงเป็นตัวแรก =
ตัวอย่าง หยิบลูกบอล 2 ลูกจากกล่องซึ่งมีหมายเลข
1 ถึง 5
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ S = { (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)
,(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) }
E1 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลที่มีหมายเลขเป็นจำนวนคู่ทั้ง
2 ลูก
E1 = { (2,4) }
E2 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคู่
E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) ,
(3,5) }
E3 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคี่
E3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) ,
(2,5) , (3,4) , (4,5) }
E4 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งหมายเลขเรียงกัน
E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5)
}
E1 U E2 =
{ (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }
P(E1 U E2)
=
E1
E2 = { (2,4)
}
P(E1
E2) =
E3 U E4 =
{ (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
P( E3 U E4)
=
E3
E4 = {
(1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }
P( E3
E4) =
E1 - E2 =
{ }
P(E1 - E2)
= 0
E2 - E1 =
{ (1,3) , (1,5) , (3,5) }
P(E2 -
E1 )
=
E4 ' =
{(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5)}
P(E4' )
=
E1'
E3' = (
E1U E3 )'
E1U E 3 =
{ (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
(E1U E3)'=
{ (1,3) , (1,5) , (3,5) }
ดังนั้น E1'
E3' = {
(1,3) , (1,5) , (3,5) }
P(E1'
E3') =
ตัวอย่าง จะจัดนักเรียน 10
คน
ซึ่งมีนายสาทิศกับนางสาวสุดาอยู่ด้วย ความน่าจะเป็นที่
ก.
นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน
ข.
นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน
ค.
นายสาทิศอยู่หัวแถวและนางสาวสุดาอยู่ท้ายแถว
1) หา n(S) ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ จัดได้ 10! วิธี
หา n(E) Eก นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน จัดได้ ( 9! X 2! )
P(Eก)
=
=
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน
เท่ากับ
2) หา
n(E) ให้ Eข นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน
จัดได้ 10! - (9! 2!) วิธี
P(Eข)
=
= 1 -
=
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกันเท่ากับ
3) หา n(E)
ให้ Eค นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว
จัดได้ 1 X 8! X 1 วิธี
P(Eค)
=
=
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว
เท่ากับ
ตัวอย่าง ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกบอล
10 ลูกเป็นสีแดง 5 ลูก สีน้ำเงิน 3
ลูก สีเขียว 2 ลูก
ถ้าหยิบลูกบอลอย่างสุ่มออกมา 2 ลูก
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน
ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ และ
E
เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก
มีสีเหมือนกัน
1) หา n(S) คือหาจำนวนวิธีที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการหยิบบอล 2 ลูกจาก 10 ลูก
จำนวนวิธีที่จะเกิดได้ =
= 45 วิธี
2) หา n(E) E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน
กรณีที่ 1 สีแดงทั้งคู่
จำนวนวิธี =
= 10 วิธี
กรณีที่ 2 สีน้ำเงินทั้งคู่
จำนวนวิธี =
= 3 วิธี
กรณีที่ 3 สีเขียวทั้งคู่
จำนวนวิธี =
1 วิธี
n(E) จำนวนวิธีทั้งหมดที่ลูกบอลทั้ง
2 ลูก มีสีเหมือนกัน = 10 + 3 + 1 = 14 วิธี
ความน่าจะเป็นที่ P(E) =
กฎสำคัญบางประการของความน่าจะเป็น
ให้ A เป็นเหตุการณ์ใดๆ
และ S เป็นแซมเปิลสเปช สมบัติความน่าจะเป็นของ A ดังนี้
1. 0
P(A)
1
2. ถ้า A = { }
แล้ว P(A) = 0 นั่นคือ
P( { } ) = 0
3. ถ้า A = S แล้ว P(A) = 1 นั่นคือ P( S ) = 1
สมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
2 เหตุการณ์
ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ
1. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A
B)
2. P(A U B) = P(A) + P(B) เมื่อ A
B = { }
3. P(A) = 1 - P(A')
4. P(A-B) = P(A) - P(A
B)
ตัวอย่าง กำหนดให้
P(A)
= 0.6 P(B') = 0.4 และ P(A - B) = 0.2 จงหา P(A '
B')
จาก P(B' ) = 0.4
จะได้ว่า P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0.4 = 0.6
จาก P(A) = 0.6 และ P(A
- B) = 0.2
เนื่องจาก P(A) = P(A - B) + P(A
B)
( ถ้านักเรียนไม่เข้าใจให้เขียนแผนภาพทางด้านเซตดู
)
0.6 = 0.2 + P(A
B)
P(A
B) = 0.4
เนื่องจาก P(A'
B') = P( A U B)'
= 1 - P(A U B)
จากสมบัติความน่าจะเป็น P(A'
B') = 1 - [ P(A)
+ P(B) - P(A
B) ]
= 1 - [ 0.6 + 0.6 - 0.4] = 1 - 0.8
= 0.2
ตัวอย่าง จากการสำรวจในหมู่บ้านหนึ่ง
ได้ผลว่าความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ทำสวนยางเท่ากับ 0.5
ความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ขุดบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.7 และความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ทำสวนยาง
และมีบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.3 ถ้าเลือกครอบครัวขึ้นมา
1 ครอบครัวอย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นของ
ครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา
ให้
A เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยาง
ดังนั้น P(A) = 0.5
B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวขุดบ่อเลี้ยงปลา
ดังนั้น P(B) = 0.7
A
B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยางและขุดบ่อเลี้ยงปลา
P(A
B) = 0.3
P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A
B)
= 0.5 + 0.7 - 0.3 = 0.9
ความน่าจะเป็นของครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา
เท่ากับ 0.9
ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข
บางครั้งเราทราบว่าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น
เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น
เรียกความน่าจะเป็นแบบนี้ว่า
ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข
ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที่ P(B) > 0 เขียน P(A/B)
แทนความน่าจะเป็นของ A เมื่อกำหนดว่าเหตุการณ์
B เกิดขึ้นแล้ว
และให้ P(A/B) =
ถ้า P(B) = 0 ให้ P(A/B)
=
0
ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก
จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหน้าน้อยกว่า 4 ถ้ารู้แล้วว่าขึ้นหน้าเลขคี่
ให้ B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าเลขคี่
A แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าน้อยกว่า
4
A
B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าเลขคี่
และน้อยกว่า 4
P(B) =
=
เนื่องจากมี 1 และ 3 เท่านั้นที่เป็นเลขคี่ และน้อยกว่า 4
ดังนั้น P(A
B) =
เพราะฉะนั้น P(A/B) =
=
=
ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 3 ใบ และสีดำ 2 ใบ
ถ้าหยิบลูกแรกแล้วไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินสีดำทั้งสองลูก
วิธีที่
1 หยิบครั้งแรกมีวิธีเลือกได้ 5 วิธี
ครั้งที่สองมีวิธีเลือก
4 วิธี
ดังนั้น มีวิธีเลือกทั้งหมด 5 X 4 = 20 วิธี
หยิบลูกหินสีดำครั้งแรกมี 2 วิธี ครั้งที่สองมี 1
วิธี
ดังนั้น มีวิธีเลือกทั้งหมด 2 X 1 = 2 วิธี
ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินดำทั้งคู่
โดยที่หยิบครั้งแรกแล้วไม่ใส่คืน เท่ากับ
วิธีที่
2 ให้ A เป็นเหตุการณ์หยิบลูกหินลูกแรกสีดำ
และ
B เป็นเหตุการณ์หยิบลูกหินลูกที่สองสีดำ
P(A) =
=
P(B/A) =
=
ดังนั้น P(
B) = P(A) P(B/A)
= (
) (
) =
ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 2
ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้น 4 , 5 หรือ 6
ในการทอดครั้งแรกและขึ้น 1 , 2, 3 หรือ 4
ในการทอดครั้งที่
2
วิธีที่
1 ให้ A เป็นเหตุการณ์
ซึ่งทอดลูกเต๋าครั้งแรก ขึ้น 4 , 5 หรือ 6
B เป็นเหตุการณ์
ซึ่งทอดลูกเต๋าครั้งที่สอง ขึ้น 1 , 2, 3 หรือ 4
ทอดครั้งแรกมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี
ทอดครั้งที่สองมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี
ดังนั้น มีวิธีเกิดได้ทั้งหมด 6 X 6 = 36 วิธี
ทอดครั้งแรกได้เหตุการณ์ A มี 3 วิธี ทอดครั้งที่สองได้เหตุการณ์ B มี 4 วิธี
ดังนั้นทอดได้เหตุการณ์ A และ B มี 3 X 4 = 12 วิธี
เพราะฉะนั้น P(A
B) =
=
วิธีที่ 2 P(A) =
P(B/A) = P(B) =
P(A
B) = P(A) P(B/A)
= (
) (
) =
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน
พิจารณาในการโยนเหรียญ
1 อัน 2 ครั้ง จะเห็นว่าการที่การโยนเหรียญครั้งหนึ่งขึ้นหัวหรือก้อย
ไม่มีผลต่อการขึ้นหัวหรือก้อยในการโยนครั้งที่สอง
เรากล่าวว่าการโยนทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน
นิยาม เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B
เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A
B) = P(A) P(B)
ทฤษฎีบท เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B
เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A/B) = P(A)
เหตุการณ์ A และเหตุการณ์
B
เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(B/A) = P(B)
ตัวอย่าง โยนลูกเต๋า 2 ลูก 2 ครั้ง จงหาความจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเท่ากับ 5
ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่
1 เป็น 5
B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่
2 เป็น 5
จะได้ P(A) =
=
และ P(B) =
=
เนื่องจากการโยนลูกเต๋าแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเป็น
5 เท่ากับ
P(A
B) = P(A) P(B)
=
X
=
ตัวอย่าง ในการโยนเหรียญ 1
เหรียญ และลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกัน
จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวและลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 3
ให้ A แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว
B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า
3
จะได้ P(A) =
และ P(B)
=
=
เนื่องจากการขึ้นของเหรียญและของลูกเต๋าเป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้น P(A
B) = P(A) P(B)
=
x
=
เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวและลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า
3 เท่ากับ
//www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/mathonline/learn/seventh.html
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ |
คำว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น
เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5
ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ
ที่เกิดขึ้นในอาณาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนต์
นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น
ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7
ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก
ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้
โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซนต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า
ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฎหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซนต์
ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม)
โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5
//kanchanapisek.or.th/kp6/BOOK6/chapter12/t6-12-m.htm
ในทางคณิตศาสตร์ |
และน้ำหนักของเหตุการณ์ใด |
พิจารณาการโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ |
|
ผลที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 2 อย่าง โอกาสที่เหรียญจะหงายหัว=โอกาสที่เหรียญจะหงายก้อย |
| โอกาสที่เหรียญจะหงายหัว โอกาสที่เหรียญจะหงายก้อย เรากล่าวว่า และความน่าจะเป็นที่เหรียญหงายก้อยมีค่า 1/2 |
ในการทอดลูกเต๋าลูกหนึ่ง |
ผลที่ลูกเต๋าจะขึ้นหน้าต่าง |
|
พิจารณาการโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ ความน่าจะเป็นที่เหรียญใดจะหงายหัวหรือก้อยมีเท่า |
| ความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสองจะหงายหัว = 1/4 ความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสองจะหงายก้อย = 1/4 ความน่าจะเป็นที่เหรียญหนึ่งหงายหัวกับอีก เหรียญหนึ่งหงายก้อย |
ตามความจริงแล้วการเกิดอย่างรูป |
นอกจากเรื่องโยนลูกเต๋า |
|
และอาศัยกฎเกณฑ์ของคณิตศาสตร์ในแขนงอื่น |
| เช่น นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส |
แต่เพิ่งจะได้มีการศึกษาโดยละเอียดและนำไปใช้เมื่อประมาณ 40 ปีมานี้เอง |
เช่น |
|
ด.ญ.ณัฐชยา อารีย์วงศ์
ชั้น ม.2/13
เลขที่ 17
//www.school.net.th/library/snet2/knowledge_math/prob_even.htm
ความน่าจะเป็น
ถือเป็นเรื่องหลักเลยที่จะได้เรียนกันในวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้น ม.6 โดยอาจจะใช้ควบคู่กับ
การเรียงลำดับและจัดหมู่ จริงๆแล้วเป็นบทเรียนที่สนุกและง่ายมาก เพราะใช้แค่การ
บวก ลบ คูณ หาร ปกติ ไม่ต้องดิ๊ฟหรือใช้สมการยากๆ ก็สามารถหาคำตอบได้แล้ว
การเรียนบทนี้ ความละเอียดรอบคอบจะมีส่วนมาก คอมม่อนเซนส์ ก็มีส่วน
(เช่นรู้ว่านั่งรอบโต๊ะกลมเป็นอย่างไร)
แต่ก็เป็นเพียงความรู้รอบตัวง่ายๆที่น้องๆทุกคนน่าจะรู้กันอยู่แล้ว ถึงไม่รู้
เห็นครั้งเดียวก็รู้แล้ว เราลองมาดูกันว่า ความน่าจะเป็น สนุกและง่ายขนาดไหน
ความหมายของความน่าจะเป็น
ในชีวิตประจำวันทุกคนเคยได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก
ความน่าจะเป็นนี้สามารถไปใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ
ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน
หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก
ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้
การทดลองสุ่ม
(Random Experiment)
คือการทดลองซึ่งทราบว่า
ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นโดยรวม
จะออกมาเป็นอย่างไรได้บ้าง (ความน่าจะเป็น) แต่ไม่สามารถบอกได้เฉพาะเจาะจงว่า
ในแต่ละครั้งที่ทดลอง จะเกิดผลลัพธ์เป็นอะไร
แซมเปิลสเปซ
(Sample Space)
คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
เหตุการณ์
(Event)
คือผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ
เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะเกิดอะไร
นิยามของความน่าจะเป็น
ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ
แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N
และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ
มีค่าเท่ากับ n
โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย
P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ
จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น
มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ
เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้)
ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้
สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
กำหนดให้
E แทนเหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E)แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n(E) แทนจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์
S แทนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
n(S) แทน
จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
1.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆมีค่าตั้งแต่0ถึง1
2.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอนเท่ากับ1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ 0
//www.tewfree.com/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99/
ด.ญ.ณัฐชยา อารีย์วงศ์ ม.2/13 เลขที่17
ด.ช.เกียรติยศ พิบูลย์ ม.2/13 เลขที่3
(ไม่มาโรงเรียนค่ะ)
แหล่งอ้างอิง:
school.obec.go.th/banharn6/wasinkng.doc , //www.tewfree.com/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99/ , file:///D:/%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%87%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%202555/%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%87%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C.htm