2 4 8 16 ข้อใดคืออัตราส่วนร่วมของลําดับเรขาคณิตนี้

ลำดับเลขคณิต

บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ  

และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม ( Common difference )

ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว

  จะได้ a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 – an เท่ากับ ค่าคงที่

        เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference) เขียนแทนด้วย “ d ”

        จากบทนิยาม                d            =           an+1 – an

                   หรือ      an+1         =            an + d

ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต

                        1.    ลำดับ 1, 3, 5, …, 99         เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 2

                        2.    ลำดับ 6, 3, 0, …, -27        เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ -3

                        3.    ลำดับ 5, 5, 5, …, 5           เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0

                        4.    ลำดับ 0, 0, 0, …, 0           เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0

จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า d = 0 จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากัน
และเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว” เช่น ข้อ 3 และข้อ 4

การหาพจน์ต่าง ๆ ของลำดับเลขคณิต

กำหนดลำดับเลขคณิต a1 , a2 , a3 , … ให้ a1 เป็นพจน์แรกของลำดับ

และ d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่นๆ ของลำดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ดังนี้

a1        =     a1

 a2      =      a1 + d

  a3      =      a1 + 2d

  a4      =      a1 + 3d

  . 

  .

  .

    an      =     a1 + ( n – 1 )d

สรุป        พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ  

                       มื่อ an           คือ   พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิ
a1            คือ   พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต
n            คือ   ตำแหน่งของพจน์ที่ n
d            คือ   ผลต่างร่วม (พจน์ที่ n+1 ลบด้วย พจน์ที่ n)

 ลำดับเรขาคณิต

บทนิยาม   ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่
ทุกค่าของจำนวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ”

ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้

เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ” (Common ratio) เขียนแทนด้วย r

พิจารณา          ลำดับ     1, 2, 4, 8, …

                ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่อง ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก

ลำดับ             1, 2, 4, 8, …

ลำดับนี้เกิดจาก

1

2  = 2

2

2 = 4

4

2 = 8

เรียกลำดับนี้ ว่าลำดับเรขาคณิต

พิจารณา ลำดับ 1, 2, 4, 8, …

a2÷ a1       =       2÷ 1      =          2

a3÷ a2        =     4÷ 2       =          2

a4÷ a3        =       8÷ 4      =        2

จะเห็นว่า อัตราส่วนของพจน์หลัง หารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน มีค่าคงที่ เท่ากับ 2

                เรียกค่าคงที่ว่า อัตราส่วนร่วมและเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับเรขาคณิต       

พจน์ทั่วไป หรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต คือ

                        เมื่อ an คือ พจน์ที่ n และ a1 คือ พจน์แรก

r คือ อัตราส่วนร่วม เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 หารด้วยพจน์ที่ n

แบบทดสอบ

1. 2, 4, 8, 16 ข้อใดคืออัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตนี้   

1.   1
2.   2
3.   3
4.   4

ตอบ : 2

2.  พจน์ที่ 7 ของลำดับเรขาคณิต 5, 10 , 20 , … คือข้อใด

1.   240
2.   260
3.   300
4.   320

ตอบ : 3

อ้างอิง