ต วอย างโจทย finite difference 2 ม ต

วีดิทศั น์ เรอ่ื ง การแกส้ มการกาลังหน่ึงตัวแปรเดยี ว วีดทิ ศั น์ เรื่อง การแกส้ มการกาลงั สองตัวแปรเดียว โดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ

วีดิทศั น์ เร่ือง การแก้สมการกาลังสอง โดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ วดี ทิ ศั น์ เรอื่ ง การแกส้ มการกาลังสองตัวแปรเดียว โดยวธิ ีใชส้ ูตร

14

เร่ืองที่ 3 สมบัตกิ ารไม่เท่ากนั

ประโยคคณิตศำสตร์จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนกำรไม่เทำ่ กนั

บทนิยาม a < b หมำยถึง a นอ้ ยกวำ่ b a > b หมำยถึง a มำกกวำ่ b

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ 1. สมบตั ิกำรถ่ำยทอด ถำ้ a > b และ b > c แลว้ a > c เช่น 8 > 5 และ 5 > 3 แลว้ 8 > 3 2. สมบตั ิกำรบวกดว้ ยจำนวนที่เทำ่ กนั ถำ้ a > b แลว้ a + c > b+ c เช่น 5 > 0 แลว้ 5 + 3 > 0 + 3 3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ a เป็นจำนวนจริงบวก กต็ ่อเม่ือ a > 0 เช่น 2 เป็ นจำนวนจริงบวกกต็ อ่ เมื่อ 2 > 0 a เป็นจำนวนจริงลบ กต็ ่อเม่ือ a < 0 เช่น -2 เป็ นจำนวนจริงลบกต็ ่อเมื่อ -2 < 0 4. สมบตั ิกำรคูณดว้ ยจำนวนเทำ่ กนั ที่ไม่เทำ่ กบั ศูนย์ กรณีท่ี 1 ถำ้ a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc เช่น ถำ้ 5 > -3 แลว้ 5(2) > (-3)(2) หรือ 10 > -6 กรณีที่ 2 ถำ้ a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc เช่น ถำ้ 5 > -3 แลว้ 5(-2) < (-3)(-2) หรือ -10 < 6 5. สมบตั ิกำรตดั ออกสำหรับกำรบวก ถำ้ a + c > b + c แลว้ a > b เช่น ถำ้ 5 + 2 > 3 + 2 แลว้ 5 > 3 6. สมบตั ิกำรตดั ออกสำหรับกำรคูณ กรณีที่ 1 ถำ้ ac > bc และ c > 0 แลว้ a > b เช่น ถำ้ 5(2) > (-3)(2) แลว้ 5 > -3 กรณีท่ี 2 ถำ้ ac > bc และ c < 0 แลว้ a < b เช่น ถำ้ (-3)(2) > 5(-2) แลว้ -3 < 5

บทนิยาม

a≤b หมำยถึง a นอ้ ยกวำ่ หรือเท่ำกบั b a≥b หมำยถึง a มำกกวำ่ หรือเท่ำกบั b a<b<c หมำยถึง a < b และ b < c a≤b≤c หมำยถึง a ≤ b และ b ≤ c

วีดิทัศน์ เรอ่ื ง สมบัติการไม่เทา่ กนั

15

ช่วง (Interval) ช่วง หมำยถึง กำรเขียนแทนเซตของจำนวนจริงที่เป็ นส่วนใดส่วนหน่ึงบนเส้นจำนวน เช่น กำร

เขียนแทนเซตของจำนวนจริงที่อยรู่ ะหวำ่ งจำนวนจริง a และ b ใดๆ หรือมำกกวำ่ หรือนอ้ ยกวำ่ จำนวนจริง a ใดๆ

3.1 ช่วงของจานวนจริง กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b

1. ช่วงเปิ ด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }

2. ช่วงปิ ด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ช่วงคร่ึงเปิ ด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ช่วงคร่ึงเปิ ด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b}

5. ช่วง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}

6. ช่วง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ช่วง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ช่วง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

วีดทิ ัศน์ เรื่อง ชว่ ง

วีดิทศั น์ เรื่อง การแก้อสมการตวั แปรเดยี ว ดีกรีหน่งึ วดี ิทศั น์ เร่อื ง การแกอ้ สมการตัวแปรเดยี ว ดีกรสี อง

16

เร่ืองท่ี 4 ค่าสัมบูรณ์

คำ่ สัมบูรณ์ของจำนวนจริง หมำยถึง ระยะห่ำงจำกจุดศูนยบ์ นเส้นจำนวน พจิ ำรณำคำ่ สัมบูรณ์ของ 4 และ – 4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

4 อยหู่ ่ำงจำก 0 เป็นระยะทำง 4 หน่วย ดงั น้นั ค่ำสัมบูรณ์ของ 4 คือ 4

– 4 อยหู่ ่ำงจำก 0 เป็นระยะทำง 4 หน่วย ดงั น้นั ค่ำสมั บูรณ์ของ – 4 คือ 4

น่ันคือ ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริงใด ๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากบั ููนย์เสมอ

สญั ลกั ษณ์แทนคำ่ สัมบูรณ์คือ | | เช่น ค่ำสมั บูรณ์ของ 4 คือ |4|

คำ่ สัมบูรณ์ของ – 4 คือ |– 4|

บทนิยาม กาหนดให้ a เป็ นจานวนจริง

a เมอ่ื a  0 a  0 เมอื่ a  0

 a เมอื่ a  0 4.1 สมบตั ขิ องค่าสัมบูรณ์

กาหนดให้ x, y เป็ นจานวนจริงใดๆ ตัวอย่าง

1. | x | = | -x | | 3 | = | -3 | = 3

2. | xy | = | x || y | | 3(-2) | = | 3 || -2 | = 6

3. x = x ;y≠0 10 = 10 =2 y y -5 -5

4. | x - y | = | y - x | | 10 - 3 | = | 3 – 10 | = 7

5. | x |2 = x2 | 5 |2 = 52 = 25

6. | x + y | ≤ | x | +| y | เช่น x = 2 y = 3 แลว้ | 2 + 3 | = | 2 | + | 3 | = 5 6.1 ถำ้ xy > 0 แลว้ | x + y | = | x | + | y |

6.2 ถำ้ xy < 0 แลว้ | x + y | < | x | + | y | เช่น x = 2 y = – 3 แลว้ | 2 + (– 3) | < | 2 | + |– 3|

1< 5

7. เม่ือ a เป็นจำนวนจริงบวก

| x | < a หมำยถึง – a < x < a | x | < 3 หมำยถึง – 3 < x < 3 | x | ≤ a หมำยถึง – a ≤ x ≤ a | x | ≤ 3 หมำยถึง – 3 ≤ x ≤ 3

8. เม่ือ a เป็นจำนวนจริงบวก | x | > 3 หมำยถึง x < – 3 หรือ x > 3 | x | > a หมำยถึง x < – a หรือ x > a | x | ≥ 3 หมำยถึง x ≤ – 3 หรือ x ≥ 3 | x | ≥ a หมำยถึง x ≤ – a หรือ x ≥ a

17

วดี ทิ ัศน์ เรือ่ ง คา่ สัมบรู ณ์ วดี ิทศั น์ เรือ่ ง คา่ สัมบรู ณแ์ ละการนาไปใช้ (การแกส้ มการ) วีดิทศั น์ เร่อื ง ค่าสมั บรู ณแ์ ละการนาไปใช้ (การแกอ้ สมการ)

18

กจิ กรรมบทที่ 1

แบบฝึ ดหดั ท่ี 1

จงเขียนแสดงช่วงตำ่ งๆ ที่แสดงบนเส้นจำนวนตอ่ ไปน้ี 1)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ตอบ ...................................

1. .................................. ตอบ -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ................................... ..................................
2. ตอบ ................................... -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 .................................. ตอบ
3. ................................... .................................. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ตอบ ...................................
4. .................................. ตอบ -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ................................... .................................. 6)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

7)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ตอบ ...................................

1. .ต..อ...บ............................ ................................... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ..................................

ดูเฉลยกจิ กรรมท้ายเล่ม

19

บทท่ี 2

เลขยกกาลงั ทม่ี เี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะ

สาระสาคัญ 1. an อ่ำนวำ่ a ยกกำลงั n โดยมี a เป็นฐำน และ n เป็นเลขช้ีกำลงั 2. n a อ่ำนวำ่ กรณฑท์ ี่ n ของ a 3. จำนวนจริงท่ีอยใู่ นรูปเลขยกกำลงั ท่ีมีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนตรรกยะจะมีควำมสมั พนั ธ์กบั จำนวนจริงที่อยใู่ นรูปของกรณฑห์ รือ รำก (root) ตำมควำมสมั พนั ธ์ดงั ตอ่ ไปน้ี n a = a 1n และ n am = amn 4. กำรบวก ลบ คูณ หำร จำนวนท่ีมีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนตรรกยะโดยใชบ้ ทนิยำมกำรบวก ลบ คูณ หำร เลขยกกำลงั ของจำนวนเตม็

ผลการเรียนรู้ทคี่ าดหวงั 1. อธิบำยควำมหมำยและบอกควำมแตกต่ำงของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะได้ 2. อธิบำยเก่ียวกบั จำนวนจริงที่อยใู่ นรูปเลขยกกำลงั ท่ีมีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนตรรกยะ และ จำนวนจริงในรูปกรณฑไ์ ด้ 3. อธิบำยควำมหมำยและหำผลลพั ธ์ท่ีเกิดจำกกำรบวก กำรลบ กำรคูณ กำรหำร จำนวนจริงท่ีอยู่ ในรูปเลขยกกำลงั ท่ีมีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนจริงในรูปกรณฑไ์ ด้

ขอบข่ายเนื้อหา เร่ืองท่ี 1 จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ เร่ืองที่ 2 จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ เร่ืองท่ี 3 กำรบวก กำรลบ กำรคูณ กำรหำร จำนวนท่ีมีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนตรรกยะและ จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

20

เร่ืองที่ 1

จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

1.1 จานวนตรรกยะ หมำยถึง จำนวนท่ีเขียนแทนในรูปเศษส่วน a เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเตม็ b ท่ี b  0

จำนวนตรรกยะประกอบดว้ ย

1. จำนวนเตม็ เช่น 5, 0, -2, -1 1 3 -2
2. เศษส่วน เช่น 2 , 5 , 7

1. ทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ เช่น 0.13• , 0.666...

1.2 จานวนอตรรกยะ หมำยถึง จำนวนที่ไมส่ ำมำรถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปเศษส่วน a เมื่อ a และ b b เป็นจำนวนเตม็ ที่ b  0

จำนวนอตรรกยะ ประกอบดว้ ย

1. ทศนิยมไมร่ ู้จบแบบไมซ่ ้ำ เช่น 1.23546..., 3.01001000100001...

1. สญั ลกั ษณ์ π , e ( π มีค่ำประมำณ 3.14285...)

1. จำนวนในรูปกรณ์ท่ีถอดกรณ์ไม่ได้ เช่น 2 , 3 , 5 , ...

1.3 เลขยกกาลงั ทมี่ ีเลขชี้กาลงั เป็ นจานวนเต็ม

บทนิยาม เม่ือ a เป็นจำนวนใดๆ และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก an = a × a × a × … × a

n ตวั

เรียก an วำ่ เลขยกกำลงั ที่มี a เป็น ฐำน และ n เป็นเลขช้ีกำลงั เช่น 54 = 5  5  5  5 = 625

กฎของเลขยกกาลงั

ถำ้ a,b เป็นจำนวนจริงโดยที่ m และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก

กฎขอ้ ที่ 1 am ∙ bn = am + n เช่น 23  24 = 23 + 4

21

กฎขอ้ ท่ี 2 เม่ือ a  0

กฎขอ้ ท่ี 3 am =1 ถำ้ m  n กฎขอ้ ที่ 4 an กฎขอ้ ท่ี 5 am an = am- n ถำ้ m  n เช่น 25 = 25 - 3

am = 1 ถำ้ n  m 23 an an-m  am n = amn เช่น 32  1

35 35  2

เช่น (52)3 = 52 x 3

(ab)n = anbn เช่น (2  5)3 = 23 × 53

 a n  an เม่ือ b  0 เช่น  2 5  25  b  bn  3 35  

บทนิยาม เม่ือ a เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ำกบั ศูนย์ และ n เป็นจำนวนเตม็ บวกแลว้ a0 = 1 เม่ือ a ≠ 0 a-n = a1n เมื่อ a ≠ 0

วีดทิ ัศน์ เรอ่ื ง จานวนตรรกยะ และ อตรรกยะ

22

เรื่องที่ 2

จานวนจริงในรูปกรณฑ์

กำรเขียนเลขยกกำลงั เม่ือเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนตรรกยะสำมำรถทำไดโ้ ดยอำศยั ควำมรู้เรื่อง รำกท่ี n ของจำนวนจริง a และจำนวนจริงในรูปกรณ์ ( กรณ์ที่ n ของ a เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ n a ) และมีบทนิยำมดงั น้ี

บทนิยำม ให้ n เป็นจำนวนเตม็ บวกท่ีมำกกวำ่ 1 เม่ือ a และ b เป็นจำนวนจริง a เป็นรำกท่ี n ของ b ก็ต่อเม่ือ an  b

พิจำรณำตวั อยำ่ งต่อไปน้ี ดงั น้นั 2 เป็ นรำกที่ 3 ของ 8 เน่ืองจำก 23 = 8 ดงั น้นั –2 เป็ นรำกที่ 5 ของ -32 เนื่องจำก (–2)5 = –32 ดงั น้นั 3 และ –3 เป็นรำกท่ี 2 ของ 9 เนื่องจำก 32 = 9 และ (–3)2 = 9

ตวั อย่างท่ี 1 จงหำค่ำของ 1) 4 16 , 2) 3  27 วธิ ีทา 1) 4 16  4 2  2  2  2 = 2

(หรือพิจำรณำ 16 = 24 ดงั น้นั 4 16 = 2)

1. 3  27  3 (3)  (3)  (3)   3

(หรือพิจำรณำ (–3)3 = –27 ดงั น้นั 3  27 = –3 )

สมบตั ขิ องรากที่ n ของจานวนจริง

เม่ือ n เป็นจำนวนเตม็ บวกที่มำกกวำ่ 1 โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงท่ีมีรำกท่ี n

 1) n a n  a เมื่อ n a เป็นจำนวนจริง เช่น ( 3)2 = 3

a เม่ือ a  0 เช่น 42  4, 3 53  5

1. n an = a เม่ือ a  0 และ n เป็นจำนวนคี่ เช่น 3 (2)3   2

a เมื่อ a  0 และ n เป็นจำนวนคู่ เช่น (5)2   5  5

1. n ab = n a  n b เช่น 12  4  3  4 3  2 3

3  40  3 (8)(5)  3  8 3 5

 2 3 5

1. n a = n a , b0 เช่น 3 2  32  32 b n b 27 3 27 3

23

ตวั อยำ่ งที่ 2 จงเขียนจำนวนตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปอยำ่ งง่ำย

1. 200 2) 18 3) 3 24 4) 2 6 5) 3 16 3 81

วธิ ีทำ 1) 200 = 100  2 = 100 2 = 10 2

1. 18 = 92 = 92 = 32
2. 3 24 = 3 8.3 = 38 33 = 23 3
3. 2 6 = 26 = 223 = 23 \= 3 16  81 = 3 24  34 = 63 6
4. 3 16 3 18

วดี ทิ ัศน์ เรอ่ื ง สมบตั ริ ากที่ n ของจานวนจริง (สมบัติข้อท่ี 1) วดี ิทัศน์ เรอื่ ง สมบัติรากท่ี n ของจานวนจรงิ (สมบตั ขิ ้อที่ 2)

24

เร่ืองที่ 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จานวนทม่ี เี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

3.1 การบวก และการลบจานวนทอ่ี ย่ใู นรูปกรณฑ์

สมบตั ิของกำรบวกจำนวนจริง ขอ้ หน่ึงท่ีสำคญั และมีกำรใชม้ ำก คือ สมบตั ิกำรแจกแจงในกำร

บวก พจนค์ ลำ้ ย ดงั ตวั อยำ่ ง

1. 3x  5x  3  5x  8x 2) 6a  2a  6  2a  4a

สมบตั ิของกำรแจกแจง สมบตั ิของกำรแจกแจง

ดว้ ยวธิ ีกำรเช่นน้ีเรำสำมำรถใชส้ มบตั ิกำรแจกแจงในเร่ืองกำรบวก กำรลบ ของจำนวนที่อยใู่ น

เครื่องหมำยกรณฑ์อนั ดบั เดียวกนั ท่ีเรียกวำ่ “พจน์คลำ้ ย”

   ดงั น้นั 3 2  5 2  3 2  5 2  3  5 2  8 2

สมบตั ิกำรแจกแจง

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่าของ 12  27  3 วธิ ีทำ 12  27  3 = 4 3  9 3  3

\= 2 33 3 3

\= 2  3 1 3

\= 43

ตวั อย่างที่ 2 จงหาค่าของ 20  45  125 วธิ ีทำ 20  45  125 = 4 5  9 5  25 5 \= 2 53 55 5 \= 2  3  5 5 \=0 5 \=0

วดี ิทัศน์ เรอื่ ง การบวก ลบจานวนทอี่ ย่ใู นรปู กรณฑ์

25

3.2 การคูณ และการหารจานวนทอี่ ย่ใู นรูปกรณฑ์

การคูณ จำกสมบตั ิขอ้ ที่ 3 ของรำกที่ n ท่ีกล่ำววำ่

n ab n a n b เมื่อ n a และ n b เป็นจำนวนจริง



 √ a . n√ = n√ab

√2 . √2 = √2 × 2 = √22 = 2

√3 . √5 = √3 × 5 = √15

ตวั อยำ่ งที่ 1 จงหำผลคูณและตอบในรูปอยำ่ งง่ำย

1. 2 33 5 = 2  33  5

1. (3 8)(5 2) = (2 × 3) × (√3 × √5 )

\= 6√15

\= 3 85 2

\= (3 × 5)(√8 × √2)

\= 15 16

\= 154

1. 23 653 4  = 60 \= 253 63 4

1. 3 2 4 3  5 6  = (2 × 5) × (3√6 × 3√4) 6 \= 10 × 3√24

\= 10 × 3√8 × 3√3 \= 10 × 3√3

\= 203√3

\= 3 2 4 3 3 2 5

\= 12 6 15 12

\= 12 6 15 4 3

\= 12 6  30 3

การหาร

วธิ ีที่ 1 ใชส้ มบตั ิขอ้ 4 n a = n a เม่ือ b ≠ 0 n b b

เช่น 20 = 20 = 4=2 5 5

วธิ ีที่ 2 ใชส้ มบตั ิขอ้ 3 n ab = n a  n b

เช่น 20 = 5 4 = 4 =2 5 5 วีดทิ ศั น์ เรอ่ื ง การหารจานวนทอี่ ยใู่ นรูปกรณฑ์

26

วธิ ีที่ 3 ใชส้ มบตั ิกำรคูณตวั เศษและกำรคูณตวั ส่วนดว้ ยจำนวนเดียวกนั

เช่น 20 = 20  5 = 100 = 10 =2 5 5 5 5 5

ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงเขียนเศษส่วนตอ่ ไปน้ี โดยใหต้ วั ส่วนไมอ่ ยใู่ นรูปกรณฑ์

1. 5 = 5 = 4 5 = 4 5  2 = 10 32 16 2 2 2 2 8

1. 18 = 9 2 = 3 2 = 2  3 = 6 27 9 3 3 3 3 3 3

ตวั อยำ่ งท่ี 2 จงเขียนเศษส่วน 4 2 โดยใหต้ วั ส่วนไม่อยใู่ นรูปกรณฑ์ 5

 วธิ ีทำ 4 4 2 =4 54 2 5 2= 5 2 5 2 = 4 5 2 3 5 52

NOTE : ตวั อยำ่ งที่ 2 อำศยั กำรแยกตวั ประกอบท่ีเรียกวำ่ ผลต่ำงกำลงั สอง

(a + b)(a - b) = a2 – b2

 5  3 5  3 =  52   3 2 = 5 – 3 = 2

เครื่องหมำยตำ่ งกนั

วดี ทิ ศั น์ เร่ือง การคูณ หารจานวนทอ่ี ยู่ในรูปกรณฑ์ วีดทิ ัศน์ เรื่อง การหาคา่ จานวนจริงในรูปกรณฑ์

27

3.3 เลขยกกาลงั ทมี่ ีเลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะ

บทนิยาม เม่ือ a เป็นจำนวนจริง n เป็น จำนวนเตม็ ท่ีมำกกวำ่ 1 และ a มีรำกท่ี n จะไดว้ ำ่

1

an  n a

พจิ ำรณำต่อไปน้ี 1 1

1. 52 = 5 และ (52 )2 = 5

1 1

1. 2 3 = 3 2 และ ( 2 3 )3 = 2

บทนิยาม ให้ a เป็ นจำนวนจริ ง m และ n เป็นจำนวนเตม็ ท่ี n > 1 และ m เป็นเศษส่วนอยำ่ งต่ำ n m1

จะไดว้ ำ่ a n = ( a n )m = ( n a )m m 1  (am ) n  n am an

ตวั อยำ่ งที่ 2 จงหำค่ำของจำนวนตอ่ ไปน้ี

21 [ 3 8 ]2 = (2)2 = 4 [ 3 27 ]4 = (3)4 = 81

1. 8 3 = [83 ]2 = [ 3 125 ]2 = (5)2 = 25 (2)3 = 8 41 [ 4 ]3 = = 253 25

1. 27 3 = [ 273 ]4 = = 3 254

21

1. 1253 = [1253 ]2 =

31

1. 4 2 = [ 4 2 ]3 =

41

1. 253 = [ 254 ]3

วดี ิทัศน์ เร่อื ง การบวก ลบ คณู และหารเลขยกกาลงั ทีม่ เี ลขชก้ี าลงั เป็นจานวนตรรกยะ

28

กจิ กรรมบทท่ี 2

แบบฝึ กหัดท่ี 1

1. จงหำวำ่ จำนวนท่ีกำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี จำนวนใดเป็ นจำนวนตรรกยะ หรือจำนวนอตรรกยะ

1. -4 6)  5

1. 8 2
2. 0.666...
3. 2

1. 2.020020002…

1. π 9) 0

1. -4.9 10) (3 - 3) π

2. จงทำใหอ้ ยใู่ นรูปอยำ่ งง่ำยและเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนเต็ม

1. 2a3  4a5 6) 23 35

1. 6b6 35 20

3b 1 7) 30  34  310

1. (5a2)6 (3) 8
2. (2ab-1)(ab2)-2
3. (32)4 · 4-9

  3  5) x y y2x 4

แบบฝึ กหดั ท่ี 2

1. จงหำค่ำของจำนวนจริงตอ่ ไปน้ี

1. 16 2) 3 27 3) 3 8 4) 3 2 64
2. 3  8
3. 3 82 6) 4 16 27
4. 3 24
5. 3 125 27 2. จงเขียนจำนวนตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปอยำ่ งง่ำย โดยใชส้ มบตั ิของ รำกที่ n

1. 36 2) 3  8 3) 4

25 27 49

29

แบบฝึ กหัดท่ี 3

1. จงทำจำนวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปอยำ่ งง่ำย

1. 2 3  5 3 2) 4 5  6 5 3) 33 7  53 7 4) 3 8  32

1. 8  18  2 6) 20  45  80 7) 12  27  4 3 8) 53 54  23 16

2. จงหำผลคูณของแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. 6  12 2) 4 2  6 5 3) 2  3  2  4)  7  2 7  2

3. จงทำใหส้ ่วนของจำนวนตอ่ ไปน้ี ไม่ติดอยใู่ นรูปกรณฑ์

1. 6 2) 8 3) 27  12 4) 3 3 3 3 32 3 2

ดูเฉลยกจิ กรรมท้ายเล่ม

30

บทท่ี 3 เซต

สาระสาคญั 1. เซต หมำยถึง กลุ่ม คน สัตว์ ส่ิงของ ที่รวมกนั เป็นกลุ่ม โดยมีสมบตั ิบำงอยำ่ งร่วมกนั และ บรรดำสิ่งท้งั หลำยที่อยใู่ นเซตเรียกวำ่ “ สมำชิก” ในกำรศึกษำเรื่องเซตจะประกอบไปดว้ ย ควำมหมำยของเซต ชนิดของเซต สบั เซต และ เอกภพสัมพทั ธ์ 2. กำรดำเนินกำรของเซต คือ กำรนำเซตต่ำง ๆ มำกระทำร่วมกนั เพ่อื ใหเ้ กิดเป็นเซตใหม่ ซ่ึงทำ ได้ 4 วธิ ีคือ ยเู นี่ยน อินเตอร์เซคชนั่ ผลตำ่ งระหวำ่ งเซต และคอมพลีเมนต์ 3. แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ จะช่วยใหก้ ำรพจิ ำรณำเกี่ยวกบั เซตไดง้ ่ำยข้ึนโดยใชห้ ลกั กำรคือ 3.1 ใชร้ ูปสี่เหลี่ยมผนื ผำ้ แทนเอกภพสัมพทั ธ์ “U” 3.2 ใชว้ งกลมหรือวงรีแทนเซตต่ำง ๆ ท่ีเป็นสมำชิกของ “U” และเขียนภำยในส่ีเหลี่ยมผนื ผำ้

ผลการเรียนรู้ทคี่ าดหวงั 1. อธิบำยควำมหมำยเกี่ยวกบั เซตได้ 2. สำมำรถหำยเู นี่ยน อินเตอร์เซกชน่ั ผลตำ่ งของเซต และคอมพลีเมนต์ ได้ 3. เขียนแผนภำพแทนเซตและนำไปใชแ้ กป้ ัญหำที่เก่ียวกบั กำรหำสมำชิกของเซตได้

ขอบข่ายเนื้อหา เรื่องที่ 1 เซต เรื่องที่ 2 กำรดำเนินกำรของเซต เร่ืองท่ี 3 แผนภำพเวนน์ - ออยเลอร์และกำรแกป้ ัญหำ

31

เร่ืองท่ี 1

เซต (Sets)

1.1 ความหมายของเซต เซต หมำยถึง กลุ่มสิ่งของต่ำง ๆ ไมว่ ำ่ จะเป็น คน สัตว์ สิ่งของหรือนิพจน์ทำงคณิตศำสตร์ ซ่ึงระบุสมำชิกในกลุ่มได้ เช่น

1. เซตของเดือนในหน่ึงปี
2. เซตของพยญั ชนะในคำวำ่ “คุณธรรม”
3. เซตของจำนวนเตม็ และเรียกส่ิงต่ำง ๆ ที่อยใู่ นเซตวำ่ “สมำชิก” ( Element ) ของเซตน้นั เช่น
4. เดือนมีนำคมเป็ นสมำชิกเซตของเดือนในหน่ึงปี
5. “ร” เป็นสมำชิกเซตของพยญั ชนะในคำวำ่ “คุณธรรม”
6. 5 เป็นสมำชิกเซตของจำนวนเตม็

วดี ิทศั น์ เรือ่ ง ความหมายของเซต และการเขียนช่ือเซต

1.2 วธิ ีการเขียนเซต กำรเขียนเซตเขียนได้ 2 แบบ

1. แบบแจกแจงสมำชิกของเซต โดยเขียนสมำชิกทุกตวั ของเซตลงในเครื่องหมำยวงเล็บปี ก กำและใชเ้ คร่ืองหมำยจุลภำค (,) คนั่ ระหวำ่ งสมำชิกแต่ละตวั น้นั

ตวั อยำ่ ง A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {มกรำคม, กมุ ภำพนั ธ์, ..., ธนั วำคม}

2. แบบบอกเง่ือนไขของสมำชิกในเซต โดยใชต้ วั แปรแทนสมำชิกของเซต และบอกสมบตั ิ ของสมำชิกในรูปของตวั แปร

ตวั อยำ่ ง A = { x | x เป็นจำนวนเตม็ บวกท่ีมีค่ำนอ้ ยกวำ่ หรือเทำ่ กบั 5} B = { x | x เป็นสระในภำษำองั กฤษ} C = {x | x เป็นช่ือเดือนในหน่ึงปี } สญั ลกั ษณ์ | แทน คำวำ่ “ซ่ึง”

วีดทิ ศั น์ เรอ่ื ง ความหมายของเซต และการเขยี นชือ่ เซต

32

การเขียนชื่อเซต โดยทว่ั ๆ ไป กำรเขียนช่ือเซตหรือกำรเรียกช่ือของเซตจะใชต้ วั อกั ษรภำษำองั กฤษ

ตวั พิมพใ์ หญไ่ ดแ้ ก่ A , B , C , . . . , Y , Z ท้งั น้ีเพื่อควำมสะดวกในกำรอำ้ งอิงเม่ือเขียนหรือกล่ำวถึง เซตน้นั ๆ ต่อไป สำหรับสมำชิกในเซตจะเขียนโดยใชอ้ กั ษรภำษำองั กฤษตวั พมิ พเ์ ลก็ ไดแ้ ก่ a, b, c, …, y, z

สัญลกั ษณ์  ( Epsilon) แทนควำมหมำยวำ่ “อยใู่ น” หรือ “ เป็นสมำชิกของ” เช่น A = {2 , 3 , 4 , 8 , 10} 2 เป็นสมำชิกของ A เขียนแทนดว้ ย 2  A 10 เป็นสมำชิกของ A เขียนแทนดว้ ย 10  A ใชส้ ัญลกั ษณ์  แทนควำมหมำย “ไม่อยู่ หรือ “ไมเ่ ป็นสมำชิกของ” เช่น 5 ไม่เป็นสมำชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย 5  A 7 ไม่เป็นสมำชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย 7  A

ขอ้ สังเกต 1. กำรเรียงลำดบั ของแตล่ ะสมำชิกไม่ถือเป็นสิ่งสำคญั เช่น A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถือวำ่ เซต A และเซต B เป็ นเซตเดียวกนั 2. กำรนบั จำนวนสมำชิกของเซต จำนวนสมำชิกท่ีเหมือนกนั จะนบั เพยี งคร้ังเดียว ถึงแมจ้ ะเขียนซ้ำ ๆ กนั หลำย ๆ คร้ัง เช่น A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจำนวนสมำชิก 4 ตวั คือ 0 , 1 , 2 , 3 เป็ นตน้

1.3 ชนิดของเซต 1.3.1 เซตว่าง ( Empty Set or Null Set ) คือ เซตท่ีไม่มีสมำชิก ใชส้ ญั ลกั ษณ์

 (อ่ำนวำ่ phi) หรือ { } แทนเซตวำ่ ง

ตวั อยำ่ ง A = { x | x เป็นช่ือทะเลทรำยในประเทศไทย } ดงั น้นั A เป็นเซตวำ่ ง เน่ืองจำกประเทศไทยไมม่ ีทะเลทรำย หรือ A =  หรือ A = { }

ข้อสังเกต 1. เซตวำ่ งมีจำนวนสมำชิก เทำ่ กบั ศูนย์ ( ไมม่ ีสมำชิกเลย )

2. 0  Ø 3. { 0 } ไม่เป็นเซตวำ่ ง เพรำะมีจำนวนสมำชิก 1 ตวั

33

1.3.2 เซตจากดั ( Finite Set ) คือ เซตท่ีสำมำรถระบุจำนวนสมำชิกในเซตได้

จำนวนสมำชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย n(A)

ตวั อยำ่ ง A = { 1 , 2 , {3} } มีจำนวนสมำชิก 3 ตวั คือ 1, 2 และ {3} หรือ n(A) = 3

B = { x | x เป็นจำนวนเตม็ และ 1 ≤ x ≤ 10 } มีจำนวนสมำชิก 10 ตวั คือ 1, 2,

3, …, 10 หรือ n(B) = 10

C = { x | x เป็นจำนวนเตม็ ที่อยรู่ ะหวำ่ ง 0 กบั 1 } ดงั น้นั C เป็นเซตวำ่ ง

มีจำนวนสมำชิก 0 ตวั หรือ n(C) = 0

D = { x | x เป็นช่ือวนั ในหน่ึงสปั ดำห์ } มีจำนวนสมำชิก 7 ตวั หรือ n(E) = 7

1.3.3 เซตอนันต์ ( Infinite Set ) คือ เซตที่มีจำนวนสมำชิกไมจ่ ำกดั

นนั่ คือไม่สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกได้

ตวั อยำ่ ง A = { -1 , -2 , -3 , … }

B = { x | x = 2n เม่ือ n เป็นจำนวนนบั }

C = { x | x เป็นจำนวนจริง }

T = { x | x เป็นจำนวนนบั }

ตัวอย่าง ใหบ้ อกวำ่ เซตตอ่ ไปน้ี เซตใดเป็ นเซตวำ่ ง เซตจำกดั หรือเซตอนนั ต์

เซต เซตว่าง เซตจากดั เซตอนันต์

1. เซตของผทู้ ่ีเรียนกำรศึกษำนอกโรงเรียน / / / ปี กำรศึกษำ 2552

2. เซตของจำนวนเตม็ บวกคี่

3. เซตของสระในภำษำไทย /

4. เซตของจำนวนเตม็ ที่หำรดว้ ย 10 ลงตวั

5. เซตของทะเลทรำยในประเทศไทย / /

วีดทิ ัศน์ เร่อื ง ชนดิ ของเซต

34

1.3.4 เซตทเี่ ท่ากนั ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเท่ำกนั กต็ อ่ เม่ือท้งั สองเซตมีสมำชิกอยำ่ ง เดียวกนั และจำนวนเท่ำกนั เซต A เท่ำกบั เซต B เขียนแทน

ดว้ ย A = B A = B หมำยควำมวำ่ สมำชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมำชิกทุกตวั ของเซต B และสมำชิก ทุกตวั ของเซต B เป็นสมำชิกทุกตวั ของเซต A ถำ้ สมำชิกตวั ใดตวั หน่ึงของเซต A ไมเ่ ป็นสมำชิกของเซต B หรือสมำชิกตวั ใดตวั หน่ึงของเซต B ไม่เป็นสมำชิกของเซต A แสดงวำ่ เซต A ไมเ่ ทำ่ กบั เซต B เซต A ไม่เทำ่ กบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A ≠ B ตวั อย่างท่ี 1 กำหนดให้ A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

B = { x | x เป็นจำนวนเตม็ บวกคูท่ ี่นอ้ ยกวำ่ 10 } วธิ ีทา A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

พจิ ำรณำ B เป็นจำนวนเตม็ บวกคู่ที่นอ้ ยกวำ่ 10

จะได้ B = {2,4,6,8} ดงั น้นั A=B ตัวอย่างที่ 2 A = { 0 , { 1,2 } } B = { 0, 1, 2} ดงั น้นั A≠B เพรำะ A มีสมำชิก 2 ตวั คือ 0 และ {1, 2} B มีสมำชิก 3 ตวั คือ 0, 1 และ 2 ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2– 8x + 15 = 0 } วธิ ีทา พจิ ำรณำ x2 - 8x + 15 = 0

ดงั น้นั ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 แต่ x = 3,5

C = {3,5} A = B เพรำะ A และ B มีสมำชิก 3 ตวั คือ 2, 3, 5 เหมือนกนั A ≠ C เพรำะ 2  A แต่ 2  C B  C เพรำะ 2  B แต่ 2  C

35

1.4 สับเซต เซต A เป็นสบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เม่ือสมำชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B ใชส้ ัญลกั ษณ์  แทนคำวำ่ “เป็นสบั เซตของ” ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทนคำวำ่ “ไมเ่ ป็นสบั เซตของ”

ตัวอย่าง A = {0, 1, 5} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A  B เพรำะสมำชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B B  A เพรำะสมำชิกทุกตวั ของเซต B ไมเ่ ป็นสมำชิกของเซต A

ข้อสังเกต 1. เซตทุกเซตเป็ นสบั เซตของตวั มนั เอง นนั่ คือถำ้ เซต A เป็นเซตใดๆแลว้ A  A 2. เซตวำ่ งเป็นสับเซตของทุกเซต นน่ั คือถำ้ เซต A เป็นเซตใดๆแลว้ { }  A

วดี ิทศั น์ เรอื่ ง การเท่ากนั ของเซต และการเทียบเท่ากันของเซต

1.5 เอกภพสัมพนั ธ์ คือ เซตท่ีกำหนดข้ึนโดยมีขอ้ ตกลงกนั วำ่ จะไม่กล่ำวถึง สิ่งอ่ืนใด นอกเหนือไปจำกสมำชิกของเซตที่กำหนด ใชส้ ญั ลกั ษณ์ U แทน เอกภพสมั พทั ธ์ ตวั อยำ่ งท่ี 1 กำหนดให้ U เป็ นเซตของจำนวนจริง

และ A = x | x2 = 4 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมำชิก ตอบ A = 2, -2 ตวั อยำ่ งที่ 2 กำหนดให้ U เป็ นเซตของจำนวนนบั และ A x | x2 = 4 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมำชิก ตอบ A = 2 ข้อสังเกต ถำ้ ไมม่ ีกำรกำหนดเอกภพสัมพทั ธ์ ใหถ้ ือวำ่ เอกภพสมั พทั ธ์น้นั เป็นเซตของจำนวนจริง

วดี ทิ ัศน์ เร่อื ง การเทา่ กันของเซต และการเทียบเทา่ กนั ของเซต

36

เร่ืองท่ี 2

การดาเนินการของเซต

2.1 การยเู นียนของเซต ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “  ”

A  B = { x | x  A  x  B } อำ่ นวำ่ A ยเู น่ียน B เท่ำกบั เชตของ x

ซ่ึง x อยใู่ น A หรือ x อยใู่ น B สัญลกั ษณ์ แทนคาว่า “หรือ”

ตัวอย่างที่ 1 ถำ้ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได้ A  B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตวั อย่างท่ี 2 ถำ้ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได้ W  Z = {a , s , d , f , p , k , b}

ตวั อย่างที่ 3 ถำ้ M = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได้ M  L = M

2.2 การอนิ เตอร์เซคชัน ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “  ” A  B = { x|x A  xB } อ่ำนวำ่ A อินเตอร์เซค B เท่ำกบั เซตของ x ซ่ึง x อยู่

ใน A และ x อยใู่ น B สัญลกั ษณ์ หมายถงึ “และ”

ตวั อย่างที่ 1 ถำ้ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างท่ี 3 จะได้ A  B = {1 , 3} ถำ้ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}

จะได้ W Z = { }

ถำ้ M = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได้ M  L = L

วีดิทัศน์ เรอ่ื ง การยูเนยี นของเซต วดี ิทัศน์ เร่ือง การอินเตอรเ์ ซคชันของเซต

37

2.3 คอมพลเี ม้นต์ของเซต ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ / ” ถำ้ U เป็นเอกภพสมั พทั ธ์ คอมพลีเมนตข์ อง A คือ เซตที่ประกอบดว้ ยสมำชิกที่อยใู่ น U แต่

ไมอ่ ยใู่ น A เขียน A แทนคอมพลีเมน้ ทข์ องเซต A ดงั น้นั A = { x | x  A } ตัวอย่าง 1. ถำ้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได้ = {1, 3,4, 5} ตัวอย่าง 2. ถำ้ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เป็นจำนวนคู่} จะได้ = { x |x U และ x เป็นจำนวนค่ี }

วดี ิทศั น์ เร่อื ง คอมพลเี มนต์ของเซต

2.4 ผลต่างของเซต ใชส้ ัญลกั ษณ์ “ – ”

ผลต่ำงระหวำ่ งเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดว้ ยสมำชิกของเซต A ซ่ึงไมเ่ ป็น

สมำชิกของเซต B ผลต่ำงระหวำ่ งเซต A และ B เขียนแทนดว้ ย A – B

ดงั น้นั A - B = { x | x  A  x  B } จะเหน็ ว่า A - B ≠ B - A

ตวั อย่าง 1. ถำ้ A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7}

จะได้ A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

ตวั อย่าง 2. ถำ้ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เป็นจำนวนคู่บวก}

จะได้ U – C = {x|x เป็นจำนวนค่ีบวก}

วดี ิทศั น์ เรอื่ ง ผลต่างของเซต

38

เรื่องท่ี 3

แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์และการแก้ปัญหา

3.1 แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ กำรเขียนแผนภำพแทนเซตช่วยใหเ้ ขำ้ ใจเกี่ยวกบั ควำมสมั พนั ธ์ระหวำ่ งเซตชดั เจนยงิ่ ข้ึน

กำรเขียนแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler) เพอ่ื แสดงควำมสัมพนั ธ์ระหวำ่ งเซต นิยมเขียนรูป สี่เหล่ียมมุมฉำกแทนเอกภพสมั พทั ธ์ (U) และใชร้ ูปวงกลม วงรี หรือรูปปิ ดใด ๆ แทนเซต A, B, C,… ซ่ึง เป็นสับเซตของ U

UA U

แผนภาพเอกภพสัมพนั ธ์ U แผนภาพแสดงเซต A เป็นสบั เซตของ A BU เองภพสัมพันธ์ U

A BU

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซึ่งเป็นสับ แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซึ่งเปน็ สบั เซตของ U โดยเซต A และเซต B ไม่มสี มาชิก เซตของ U โดยเซต A และ เซต B มี ซา้ กันเลย สมาชกิ บางตวั ซ้ากนั

U A BU

B A

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซ่งึ เป็นสบั แผนภาพแสดงเซต A และเซต B เซตของ U และ A B ซง่ึ ป็นสับเซตของ U และ A = B

39

ตัวอย่าง

A a de i BU จำกแผนภำพ c U = {a, b, c, …, n} b f ghl j m A = {a, b, c, d, e, f, g, h} B = {d, e, g, h, i, j, l} kC n C = {f, g, h, k, l}

ในท่ีน้ี เซต A และ B มีสมำชิกร่วมกนั คือ {d, e, g, h} เซต B และ C มีสมำชิกร่วมกนั คือ {g, h, l} เซต A และ C มีสมำชิกร่วมกนั คือ {f, g, h} เซต A, B และ C มีสมำชิกร่วมกนั คือ {g, h}

วดี ทิ ศั น์ เรือ่ ง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

3.1.1 ยูเนียน (Union) ยเู น่ียนของเซต A และ B คือเซตท่ีประกอบดว้ ย สมำชิกของเซต A หรือสมำชิกของเซต B หรือท้งั สองเซต เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A  B

เขียนแผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ แสดง A  B ไดด้ งั น้ี

U U BU A

AB AB

(ส่วนท่ีแรเงำคือ A  B )

3.1.2 อนิ เตอร์เซกชัน (intersection) อินเตอร์เชกชนั ของเซต A และ เซต B คือเซตท่ีประกอบดว้ ยสมำชิกท่ีอยรู่ ่วมกนั ท้งั เซต A และ เซต B เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A  B เขียนแผนภำพของแวนน์ – ออยเลอร์ แสดง A  B ไดด้ งั น้ี

UU U

AB A AB B

(ส่วนท่ีแรเงำคือ A  B )

40

3.1.3 คอมพลเี มนต์ (Complement) คอมพลีเมนตข์ องเซต A คือ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมำชิกของเอกภพสัมพทั ธ์ (U) แต่ไม่เป็นสมำชิก ของ A เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A (อ่ำนวำ่ เอไพรม)์ เขียนแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์แสดง A ได้ ดงั น้ี

U

A

(ส่วนท่ีแรเงำ คือ A)

3.1.4 ผลต่าง (Relative Complement or Difference) ผลตำ่ งของเซต A และ เซต B คือเซตที่ประกอบดว้ ยสมำชิกท่ีอยใู่ นเซต A แตไ่ ม่ไดอ้ ยใู่ นเซต B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A – B ไดด้ งั น้ี เขียนแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์แสดง A – B ได้ ดงั น้ี

U B A U UA A BB

(ส่วนที่แรเงำ คือ A – B)

วีดิทศั น์ เรอ่ื ง การเขียนแผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ : ยเู นยี น วีดทิ ัศน์ เรอื่ ง การเขียนแผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ : อินเตอเซคชัน

วีดทิ ัศน์ เรอื่ ง การเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ : คอมพลีเมนต์ วดี ิทัศน์ เรอ่ื ง การเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ : ผลตา่ ง