5.5 task answers สามเหลี่ยม เท่ากันทุกประการ แบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 5.5 คณิตศาสตร์ ม 2 ความ เท่า กัน ทุก ประการ

1. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ เราทราบมาแล้วว่าในระนาบ (plane) เดียวกัน ถ้าเลื่อนรูปเรขาคณิตรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่ง และสามารถทาให้ ทับกันสนิท (coincide) เรียกว่า รูปทั้งสองนั้นเท่ากันทุกประการ (congruent) ในที่นี้จะกล่าวถึงความเท่ากันทุกประการเป็น 4 กรณี คือ 1. ความเท่ากันทุกประการของส่วนของเส้นตรง 2. ความเท่ากันทุกประการของมุม 3. ความเท่ากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม 4. ความเท่ากันทุกประการของรูปวงกลม เราใช้เครื่องหมาย “  ” แสดงความเท่ากันทุกประการ (ของสิ่งสองสิ่งที่ทับกันสนิท) เครื่องหมาย  แสดงความเป็นสิ่งเดียวกัน 1. ส่วนของเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการ ส่วนของเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการ คือ ส่วนของเส้นตรงที่สามารถเลื่อนให้ทับกันได้สนิท เช่น “ ส่วนของเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการ จะมีความยาวเท่ากัน ” 2. มุมที่เท่ากันทุกประการ มุมที่เท่ากันทุกประการ คือ มุมที่สามารถเลื่อนให้จุดยอด และแขนของมุมทับกันสนิท เช่น A B ABAB A B A C B A C B ABˆC ABˆC
2. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 3. รูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ รูปหลายเหลยี่มที่เท่ากันทุกประการ สามารถเลื่อนให้จุดยอดและด้านทับกันได้สนิท เช่น 4. วงกลมที่เท่ากันทุกประการ รูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ ถ้าเลื่อนให้จุดศูนย์กลางทับกันแล้วเส้นรอบวงจะทับกันได้สนิท เช่น A D B C A D B C ABCD ABCD O B A O B A วงกลม O  ว ง ก ล ม O 
3. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร แบบฝึกหัดที่ 1 จงตอบคาถามในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ ส่วนของเส้นตรงทั้งสองนั้นมีความยาวเท่ากัน หรือไม่ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นมีความยาวเท่ากัน ส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้น เท่ากันทุกประการ หรือไม่ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3) ถ้ามุมสองมุมเท่ากันทุกประการ มุมทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน หรือไม่ ……………………………………………………………. 4) ถ้ามุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน มุมทั้งสองนั้นเท่ากันทุกประการ หรือไม่ ……………………………………………………………. 5) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ หรือไม่ …………………………………. 6) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปมีมุมคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ หรือไม่ ………………………………………………….……………………….. 7) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ด้านที่สมนัยกันยาวเท่ากัน หรือไม่ …………………………………………… 8) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปมีด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกด้าน รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ หรือไม่ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 9) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ มุมที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ หรือไม่ …………………………………… 10) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ มุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน หรือไม่ ………………………………………… 11) ถ้าวงกลมสองวงเท่ากันทุกประการ รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางมีความยาวเท่ากัน หรือไม่ ……………………………… 12) รูปเรขาคณิตที่เท่ากันทุกประการมีพื้นที่เท่ากัน หรือไม่ ………………………………………………………………………………
4. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร ความสมนัย (correspondence) ความสมนัย คือ ความอยู่ในลาดับเดียวกัน เช่น  ABC DEF ดังรูป จากรูป ด้านที่สมนัยกันของ  ABC จะทากับ DEF ดังนี้ AB .......... หรือ AB  .......... AC .......... หรือ AC  .......... BC .......... หรือ BC  .......... และ มุมที่สมนัยกันของ  ABC จะทากับ DEF ดังนี้ 1 .......... หรือ m1  .......... 2  .......... หรือ m2  .......... 3  .......... หรือ m3  .......... สรุป “ ด้านที่สมนัยกัน ” อาจพูดอีกอย่างหนึ่งว่า “ ด้านทอี่ยู่ในลา ดับเดียวกัน ” “ มุมทสี่มนัยกัน ” อาจพูดอีกอย่างหนึ่งว่า “ มุมทอี่ยู่ในลา ดับเดียวกัน ” A B C 1 2 3 D E F 4 5 6
5. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร แบบฝึกหัดที่ 2 1) จงเขียนผลจากการเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ต่อไปนี้ โดยใช้ลาดับอักษรให้ถูกต้อง 1. 2. 3. 4ภภ3 4.
6. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร การพิสูจน์ (Proof) การพิสูจน์ คือ การสรุปความจริงอย่างมีเหตุผลโดยมีหลักฐานยืนยัน หลักฐาน (premise) ที่นามาอ้างจะต้องเป็นสิ่งที่ทุกคนยอมรับ เช่น ทุกคนยอมรับว่าเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดๆ เดียว รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน เป็นต้น ความจริงที่ทุกคนยอมรับเช่นนี้ เรียกว่า สัจพจน์ (postulate) การคิดหาเหตุผล (reasoning) ที่นามาใช้ จะต้องเป็นกระบวนการที่ทุกคนเห็นได้ชัดโดยปราศจากข้อสงสัย เช่น เราเห็นได้ชัดว่า ถ้า a  b และ b  c แล้ว จะได้ว่า a  c เป็นต้น กระบวนการที่เห็นได้โดยปราศจากข้อสงสัย เช่นนี้ เรียกว่า สมบัติ (property) หรือ สิ่งที่เห็นจริงแล้ว (axiom) สมบัติการเท่ากันทุกประการ กาหนดรูป A , รูป B และรูป C เป็นรูปเรขาคณิตใดๆ 1. สมบัติสะท้อน รูป A  รูป A 2. สมบัติสมมาตร ถ้ารูป A  รูป B แล้ว รูป B  รูป A 3. สมบัติสะท้อน ถ้ารูป A  รูป B และ รูป B  รูป C แล้ว รูป A  รูป C สัจพจน์ในวิชาเรขาคณิต สัจพจน์ คือ ข้อความปกติทั่วไปยอมรับว่าเป็นเช่นนั้นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ที่ 1 ลากเส้นตรงผ่านจุดๆหนึ่งได้เป็นจานวนไม่จากัด (มีจานวนไม่สิ้นสุด) สัจพจน์ที่ 2 ลากเส้นตรงผ่านจุด 2 จุดได้เพียงเส้นเดียว สัจพจน์ที่ 3 มุมๆหนึ่งมีเส้นแบ่งครึ่งมุมได้เพียงเส้นเดียว สัจพจน์ที่ 4 ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุดแบ่งครึ่งเพียงจุดเดียว สัจพจน์ที่ 5 ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันย่อมทับกันสนิท สัจพจน์ที่ 6 มุมที่มีขนาดเท่ากันย่อมทับกันสนิท สัจพจน์ที่ 7 เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดๆเดียว สัจพจน์ที่ 8 ขนาดของส่วนใหญ่ย่อมแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ ผลบวกของส่วนย่อยเท่ากับส่วนใหญ่ สัจพจน์ส่วนย่อยของส่วนใหญ่ (1) ส่วนย่อยของความยาวของส่วนของเส้นตรง จากรูปขวามือ จะได้ว่า AD AB BC CD AB  AD BD BC  AD ABCD A B C D
7. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร (2) ส่วนย่อยของขนาดของมุม ตัวอย่างที่ 1 ถ้า AD  9 ซ.ม. AB  3 ซ.ม. และ CD  4 ซ.ม. ดังรูป จงหาความยาวของ BC ตัวอย่างที่ 2 ถ้า AB CD  3 ซ.ม. และ AD  8 ซ.ม. ดังรูป จงหาความยาวของ BC ตัวอย่างที่ 3 ถ้า ( ) 60 , ( ) 25 o o m AOD  m AOB  และ ( ) 20o m COD  ดังรูป จงหาขนาดของมุม BOC ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ O เป็นจุดบน AB ที่ทาให้ ( ) 110o m AOD  และ ( ) 30o m BOC  จงหาขนาดของมุม COD จากรูปซ้ายมือ จะได้ว่า mAOD  m(1) m(2) m(3) m1  m(AOD) m(2) m(3) O D C B A 1 3 2 A B C D A B C D O D C B A
8. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร การพิสูจน์โดยใช้สัจพจน์ และสมบัติการเท่ากัน ตัวอย่างที่ 5 กาหนดให้ AB CD ดังรูป จงพิสูจน์ว่า AC  BD พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล 1. AB CD กาหนดให้ 2. BC  BC 3. AB BC CD BC 4. AC  BD ตัวอย่างที่ 6 พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล 1. m(CAB)  m(CBA) 2. m(DAB)  m(DBA) 3. m(CAB) m(DAB)  m(CBA) m(DBA) 4. m(CAD)  m(CBD) 5. CAD  CBD A B C D A D C B กาหนดให้ CAB  CBA และ DAB  DBA จงพิสูจน์ว่า CAD  CBD
9. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร แบบฝึกหัดที่ 3 1. กาหนดให้ AC  BD ดังรูป จงพิสูจน์ว่า AB CD พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล 1. AC  BD 2. BC  BC 3. 4. 2. พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล A B C D E D B C A กาหนดให้ AB  AC และ AD  AE จงพิสูจน์ว่า BD CE
10. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 3. พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล 4. พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล E D B C A กาหนดให้ BD CE และ AD  AE จงพิสูจน์ว่า BA CA A D B C 3 4 1 2 กาหนดให้  ABC และ DBC มี 1 2 และ 3 4 ดังในรูป จงพิสูจน์ว่า ABC  ACB
11. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 5. พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล สัจพจน์ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล A E D C B ˆ1 ˆ3 ˆ2 กาหนดให้  ABC มี D และ E เป็นจุดบนด้าน BC ทาให้ mBAE  mCAD และกาหนดมุม 1 , 2 และ 3 ดังรูป จงพิสูจน์ว่า 1 2 2 4 3 1 จากรูป จงพิสูจน์ว่า m1  m3 และ m2  m4
12. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร สัจพจน์ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้ 1. สัจพจน์ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS Postulate) 2. สัจพจน์ มุม – ด้าน – มุม (ASA Postulate) 3. สัจพจน์ มุม – มุม – ด้าน (AAS Postulate) 4. สัจพจน์ ด้าน – ด้าน – ด้าน (SSS Postulate) 1. สัจพจน์ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS Postulate) สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมุมระหว่างด้านมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้น เท่ากันทุกประการ ระหว่าง  ABC และ DEF ถ้า AB  DE , BC  EF และ mB  mE จะได้ว่า  ABCDEF 2. สัจพจน์ มุม – ด้าน – มุม (ASA Postulate) สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน และด้านระหว่างมุมเท่ามีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมสอง รูปนั้นเท่ากันทุกประการ ระหว่าง  ABC และ DEF ถ้า m(B)  m(E) , m(C)  m(F) และ BC  EF จะได้ว่า  ABCDEF A B C D E F   B C A   E F D
13. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 3. สัจพจน์ มุม – มุม – ด้าน (AAS Postulate) สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่อยู่ระหว่างมุมเท่า มีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยม สองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ ระหว่าง  ABC และ DEF ถ้า m(A)  m(D) , m(B)  m(E) และ CA  FD จะได้ว่า  ABCDEF 4. สัจพจน์ ด้าน – ด้าน – ด้าน (SSS Postulate) สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมีด้านทั้งสามยาวเท่ากันตามลาดับ สามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ ระหว่าง  ABC และ DEF ถ้า AB DE , BC  EF และ CA  FD จะได้ว่า  ABCDEF A B C D E F A B C D E F
14. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร แบบฝึกหัดที่ 4 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ต่อไปนี้มีสิ่งที่เท่ากันตามเครื่องหมายแสดงความยาวของด้านและขนาดของมุมที่ กาหนดให้ จงบอกว่ารูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่เท่ากันทุกประการตามสัจพจน์ข้อใด ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………….
15. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
16. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร ……………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….
17. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร …………………………………………………………………………………………………. จากรูปจงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) AB  DE ............ 2) BC  FE ............ 3) CA  DF ............ 4) BA  ED ............ 5) BC  EF ............ 6) AC  FD ............ 7) ABC  FED ............ 8) ACB  EFD ............ 9) mACB  mDFE ............ 10) mBAC  mEDF ............
18. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 1) ด้านที่สมนัยกันยาวเท่ากัน คือ ………………………………………………………………………………………………………… 2) ด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ คือ ………………………………………………………………………………………………. 3) มุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน คือ …………………………………………………………………………………………………….. 4) มุมที่สมนัยกันเท่ากันทุกประการ คือ ………………………………………………………………………………………………. การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม 1. การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS) ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ AB และ CD ตัดกันที่จุด O ทาให้ OA OB และ OC OD จงพิสูจน์ว่า OAC และ OBD เท่ากันทุกประการ กา หนดให้ OAC และ OBD มี OAOB และ OC OD จะต้องพิสูจน์ว่า OAC  OBD พิสูจน์ ระหว่าง OAC กับ OBD ข้อความ เหตุผล 1. OAOB 2. AOC BOD 3. OC OD
19. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้  ABC มี AD ตั้งฉากและแบ่งครึ่ง BC ที่จุด D จงพิสูจน์ว่า AB  AC กา หนดให้ AD BC ที่จุด D และ DBDC จะต้องพิสูจน์ว่า AB  AC พิสูจน์ ระหว่าง ข้อความ เหตุผล 1. DBDC 2. ADB ADC 3. AD AD 4.  ABD ACD 5. AB AC 6. AB AC แบบฝึกหัดที่ 5 การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน – มุม – ด้าน
20. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
21. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
22. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 2. การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ มุม – ด้าน – มุม (ASA) ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ AB และ CD ตัดกันที่จุด O ทาให้ OA OC และ mOAD  mOCB จงพิสูจน์ว่า ODAOBC A D C B
23. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 3. การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ มุม – มุม – ด้าน (AAS) ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ AB และ CD ตัดกันที่จุด O ทาให้ AO CO และ mCBO  mADO จงพิสูจน์ว่า CBO ADO แบบฝึกหัดที่ 6 การพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน – มุม – ด้าน และ มุม – มุม – ด้าน 1. A O D C B
24. ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร 2. 3. ADCB